2.1.2 指数函数及其性质ppt课件课堂实录

2.1.2　指数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与技能：

 （1）理解复合函数的定义；

 （2）会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型内层函数是指数函数和外层函数是指数函数 ）。

2、过程与方法：

（1）培养学生观察、猜想、从特殊到一般的归纳总结能力，提高学生用数形结合的思想解决问题的意识；

（2）借助复合函数这个载体，体会、实践、归纳、总结函数的一般性质及研究的一般方法，探究并掌握复合函数单调性的一般规律。

3、情感、态度与价值观：

（1）在学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；

（2）养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

    本节课是在学生学习了第二章函数的定义和性质以及基本初等函数的图象与性质的基础上来学习复合函数的单调性 的，学生已经有了求函数单 调性的基本思想和方法，应用基 本初等函数的单调性来解决复合函数单调性对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

重点：（1）理解复合函数的定义；

           （2）会判断指数型复合函数的单调性。

难点：（1）分解复合函数；

           （2）内、外层函数定义域的转换。

（一）复习回顾

例1.用定义讨论函数 ， 的单调性。

提问：用定义法证明函数的单调性的步骤是什么？

预设：在区间上任取 ，作差，变形，判断符号，下结论。

解：任取 ∈(-∞，1]，且 ，

则 ，

∴ ，

∵ ， ∴  ， 。

∴ ，

所以 在 (-∞，1]上为增函数。

提问：1．如果把区间改成[1，+∞），这道题又该怎么解?

      2．如果把这道题改成求这个函数的单调区间，又该怎么求解？

（二）新课讲授

1、复合函数的定义：对于函数y= f(u)，u=g(x)，设f(u)的定义域为D，g(x)的值域为M，若M D，则函数Y=f[g(x)]称为复合函数。其中x称为自变量，u为中间变量（内层函数），y为因变量（外层函数）。

提问：例1中的函数是由哪两个函数复合而成的？

提问：举例，再比如说 可以看成哪两个函数复合？

2、复合函数的单调性的判断法

u=g(x)      增    增    减    减

y= f(u)     增     减   增     减

Y=f[g(x)]  增     减   减     减

简记为“同增异减”。

师：接下去我们针对例1的这个复合函数，来运用一下如何求一个复合函数的单调性。

例1（变式）：求 的单调区间。

解：定义域为R，设 ， ，

∵ 在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增， 在R上递减，

∴原函数在（-∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减。

提问：总结一下求复合函数单调性的步骤？

（每步板书）①求定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据“同增异减”写单调区间。

师：好，这是我们接下来要讲的第一种类型的指数型复合函数 ，它的外层函数是指数函数，内层函数是 ，接下来看几道例题：

例2：求下列函数的单调区间。

师：四人一小组讨论一下，完成前三题，完成之后思考一下第四题，然后我们再请同学上来展示一下前三题。

（请学生投影仪展示）

（1）解：定义域为（-∞，0]∪[2，+∞），设 ， ，

∵ 在（-∞，0]上递减，在[2，+∞）上递增， 在R上递减，

∴原函数在（-∞，0]上递增，在[2，+∞）上递减。

（2）解：定义域为R，设 ， ，

∵ 在（-∞， ]上递增，在[ ，+∞）上递减， 在R上递减，

∴原函数在（-∞， ]上递减，在[ ，+∞）上递增。

（3）解：定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），设 ， ，

∵ 在（-∞，1），（1，+∞）上递减， 在R上递减，

∴原函数在（-∞，1），(1，+∞）上递增。

接着教师和学生共同完成第四小题（投影仪展示）

（4）解：定义域为R，设 ， ，且 ，

∴ 在（-∞， ）上递减，在（ ，+∞）上递增， 在R上递增，

∴原函数在（-∞， ）上递减，在( ，+∞）上递增。

总结 型的单调区间：

（1）当 时， 是单调递增的，

      的增区间就是原函数的增区间；

      的减区间就是原函数的减区间。

（2）当 时， 是单调递减的，

      的增区间就是原函数的减区间；

      的减区间就是原函数的增区间。

总结 型的单调区间：

（1）当 时， 是单调递增的，

      的增区间就是原函数的增区间；

      的减区间就是原函数的减区间。

（2）当 时， 是单调递减的，

      的增区间就是原函数的减区间；

      的减区间就是原函数的增区间。

师：接下去我们研究另外一种复合函数的单调性， 内层函数是指数函数，外层函数是 ，看下面一道例题：

例3：求下列函数的单调区间。

（板书）（1）解：定义域为R，设 （ ）， ，

∵ 在R上递增， 在（0,1）上递减，即 ，在（1，+∞）递增，即 ，

∴原函数在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增。

师：第二种类型要注意区间的转换，最后的单调区间都是针对自变量x的，所以要转换为x的取值范围，接下去，对照第一小题，尝试完成第二小题。

（2）解：定义域为R，设 （ ）， ，               

∵ 在R上递减， 在（0, ）上递减，即 ，在（ ，+∞）递增，即 ，

∴原函数在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增。

总结 型的单调区间：

（1）当 时， 是单调递增的，

     的增区间就是原函数的增区间；

     的减区间就是原函数的减区间。

（2）当 时， 是单调递减的，

     的增区间就是原函数的减区间；

     的减区间就是原函数的增区间。

最后注意区间的转换！

课后练习：判断下列指数型复合函数的单调性。

2.1.2　指数函数及其性质

2.1.2　指数函数及其性质

（一）复习回顾

例1.用定义讨论函数 ， 的单调性。

提问：用定义法证明函数的单调性的步骤是什么？

预设：在区间上任取 ，作差，变形，判断符号，下结论。

解：任取 ∈(-∞，1]，且 ，

则 ，

∴ ，

∵ ， ∴  ， 。

∴ ，

所以 在 (-∞，1]上为增函数。

提问：1．如果把区间改成[1，+∞），这道题又该怎么解?

      2．如果把这道题改成求这个函数的单调区间，又该怎么求解？

（二）新课讲授

1、复合函数的定义：对于函数y= f(u)，u=g(x)，设f(u)的定义域为D，g(x)的值域为M，若M D，则函数Y=f[g(x)]称为复合函数。其中x称为自变量，u为中间变量（内层函数），y为因变量（外层函数）。

提问：例1中的函数是由哪两个函数复合而成的？

提问：举例，再比如说 可以看成哪两个函数复合？

2、复合函数的单调性的判断法

u=g(x)      增    增    减    减

y= f(u)     增     减   增     减

Y=f[g(x)]  增     减   减     减

简记为“同增异减”。

师：接下去我们针对例1的这个复合函数，来运用一下如何求一个复合函数的单调性。

例1（变式）：求 的单调区间。

解：定义域为R，设 ， ，

∵ 在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增， 在R上递减，

∴原函数在（-∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减。

提问：总结一下求复合函数单调性的步骤？

（每步板书）①求定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据“同增异减”写单调区间。

师：好，这是我们接下来要讲的第一种类型的指数型复合函数 ，它的外层函数是指数函数，内层函数是 ，接下来看几道例题：

例2：求下列函数的单调区间。

师：四人一小组讨论一下，完成前三题，完成之后思考一下第四题，然后我们再请同学上来展示一下前三题。

（请学生投影仪展示）

（1）解：定义域为（-∞，0]∪[2，+∞），设 ， ，

∵ 在（-∞，0]上递减，在[2，+∞）上递增， 在R上递减，

∴原函数在（-∞，0]上递增，在[2，+∞）上递减。

（2）解：定义域为R，设 ， ，

∵ 在（-∞， ]上递增，在[ ，+∞）上递减， 在R上递减，

∴原函数在（-∞， ]上递减，在[ ，+∞）上递增。

（3）解：定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），设 ， ，

∵ 在（-∞，1），（1，+∞）上递减， 在R上递减，

∴原函数在（-∞，1），(1，+∞）上递增。

接着教师和学生共同完成第四小题（投影仪展示）

（4）解：定义域为R，设 ， ，且 ，

∴ 在（-∞， ）上递减，在（ ，+∞）上递增， 在R上递增，

∴原函数在（-∞， ）上递减，在( ，+∞）上递增。

总结 型的单调区间：

（1）当 时， 是单调递增的，

      的增区间就是原函数的增区间；

      的减区间就是原函数的减区间。

（2）当 时， 是单调递减的，

      的增区间就是原函数的减区间；

      的减区间就是原函数的增区间。

总结 型的单调区间：

（1）当 时， 是单调递增的，

      的增区间就是原函数的增区间；

      的减区间就是原函数的减区间。

（2）当 时， 是单调递减的，

      的增区间就是原函数的减区间；

      的减区间就是原函数的增区间。

师：接下去我们研究另外一种复合函数的单调性， 内层函数是指数函数，外层函数是 ，看下面一道例题：

例3：求下列函数的单调区间。

（板书）（1）解：定义域为R，设 （ ）， ，

∵ 在R上递增， 在（0,1）上递减，即 ，在（1，+∞）递增，即 ，

∴原函数在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增。

师：第二种类型要注意区间的转换，最后的单调区间都是针对自变量x的，所以要转换为x的取值范围，接下去，对照第一小题，尝试完成第二小题。

（2）解：定义域为R，设 （ ）， ，               

∵ 在R上递减， 在（0, ）上递减，即 ，在（ ，+∞）递增，即 ，

∴原函数在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增。

总结 型的单调区间：

（1）当 时， 是单调递增的，

     的增区间就是原函数的增区间；

     的减区间就是原函数的减区间。

（2）当 时， 是单调递减的，

     的增区间就是原函数的减区间；

     的减区间就是原函数的增区间。

最后注意区间的转换！

课后练习：判断下列指数型复合函数的单调性。