1.3.1 单调性与最大（小）值PPT配套教学设计内容

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：

（1）从形与数两方面理解单调性的概念

（2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法

（3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力

过程与方法：

（1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法

（2）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

情感态度价值观：

（1）通过知识的探究过程培养学生细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯。

（2）让学生在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣，提高学好数学的自信。

知识结构

学生已经学习过一次函数，二次函数，反比例函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图象，能从图象的直观变化得到函数增减性。

能力结构

通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。 学习心理 函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础。

重点:函数单调性概念的理解及应用。

难点:是抽象出函数单调性的定义及利用定义证明函数的单调性。

1. 如图为某市一天内的气温变化图

问题1  怎样描述气温随时间增大的变化情况？

问题2  怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高或下降”这一特征？

 （而后将其引申到函数中图像的上升与下降，接着板书课题：函数的单调性）

问题1：分别作出函数 的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？

问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

如果函数 在某个区间上的图象从左向右逐渐上升（下降），或者如果函数 在某个区间上随自变量x的增大（而减小），y也越来越大，我们说函数 在该区间上为增函数．（减函数）

问题3：如何从解析式的角度说明 在 上为增函数？

启发提示：（1）如果在y轴右侧部分取两个点（x1，y1）、（x2，y2），当x1<x2时，y1，y2的大小关系如何？

（2）是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？

问题4：能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

板书定义（老师板书严格规范的定义）

设函数的定义域为I，对于定义域I上的某个区间D内的任意两个自变量 ，当 时，都有 （ ），那么就说函数 在区间D上为增函数（减函数）。

思考交流：你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

[教师口述]：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数 在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数 在这个区间上具有单调性。这一区间叫做 的单调增（减）区间。

（2)巩固概念（幻灯片显示判断题）

①已知 因为 ，所以函数 是增函数．（  ）

②若函数 满足 则函数 在区间 上为增函数．(  )

③若函数 在区间 和 上均为增函数，则函数 在区间 上为增函数．(  )

④因为函数 在区间 上都是减函数，所以 在 上是减函数.(  )

例1  如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

强调四点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 

说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。

例2：画出 的图像，判断它的单调性，并加以证明。

解析：画出图形，让学生归纳。

下面利用定义证明：（略）

思考交流:请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？

师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：

取值：设 是给定区间上任意两个值，且 ；

（2）作差与变形：作差 ，变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；

（3）定号：确定 的符号；

（4）判断。

接下来，我们再来看一个例题：

例3：判断函数 在（0，+ ）上的单调性，并加以证明。

分析:先画图，利用图像来判断，再利用定义来证明单调性。（让学生自己动手）

变式训练;将题中定义域改为(- ∞，0),能给出解答吗？

1、函数单调性的定义．

2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义．

3、证明函数单调性的步骤：①取值；②作差变形；③定号；④判断．

（1）阅读课本P29例2

（2）书面作业：教材  p39   1、2

课后尝试

1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．探究出函数单调性的数学语言。通过教师指导说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．

4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

1. 如图为某市一天内的气温变化图

问题1  怎样描述气温随时间增大的变化情况？

问题2  怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高或下降”这一特征？

 （而后将其引申到函数中图像的上升与下降，接着板书课题：函数的单调性）

问题1：分别作出函数 的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？

问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

如果函数 在某个区间上的图象从左向右逐渐上升（下降），或者如果函数 在某个区间上随自变量x的增大（而减小），y也越来越大，我们说函数 在该区间上为增函数．（减函数）

问题3：如何从解析式的角度说明 在 上为增函数？

启发提示：（1）如果在y轴右侧部分取两个点（x1，y1）、（x2，y2），当x1<x2时，y1，y2的大小关系如何？

（2）是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？

问题4：能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

板书定义（老师板书严格规范的定义）

设函数的定义域为I，对于定义域I上的某个区间D内的任意两个自变量 ，当 时，都有 （ ），那么就说函数 在区间D上为增函数（减函数）。

思考交流：你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

[教师口述]：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数 在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数 在这个区间上具有单调性。这一区间叫做 的单调增（减）区间。

（2)巩固概念（幻灯片显示判断题）

①已知 因为 ，所以函数 是增函数．（  ）

②若函数 满足 则函数 在区间 上为增函数．(  )

③若函数 在区间 和 上均为增函数，则函数 在区间 上为增函数．(  )

④因为函数 在区间 上都是减函数，所以 在 上是减函数.(  )

例1  如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

强调四点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 

说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。

例2：画出 的图像，判断它的单调性，并加以证明。

解析：画出图形，让学生归纳。

下面利用定义证明：（略）

思考交流:请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？

师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：

取值：设 是给定区间上任意两个值，且 ；

（2）作差与变形：作差 ，变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；

（3）定号：确定 的符号；

（4）判断。

接下来，我们再来看一个例题：

例3：判断函数 在（0，+ ）上的单调性，并加以证明。

分析:先画图，利用图像来判断，再利用定义来证明单调性。（让学生自己动手）

变式训练;将题中定义域改为(- ∞，0),能给出解答吗？

1、函数单调性的定义．

2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义．

3、证明函数单调性的步骤：①取值；②作差变形；③定号；④判断．

（1）阅读课本P29例2

（2）书面作业：教材  p39   1、2

课后尝试

1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．探究出函数单调性的数学语言。通过教师指导说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．

4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

• 优点:

  整个教学设计流程合理，依据学生的认知特征，数学课程标准要求设计的一节课。教学过程从让学生观察图导入新课，分析、引导出函数单调性的严格定义，结合练习，使学生加深对概念的理解。

• 缺点:

  教学设计中若把每一步的设计写出来就更好了。