1.3.1 单调性与最大（小）值名师教学设计2

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1、函数的单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解研究函数的性质；

2、理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会球函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力；

3、能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性和重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性；

对于单调性，学生具备直觉上的感官认识，有初级的图像意识，没有形成系统的定义和代数上的本质特征。

教学重点：函数单调性概念及用定义证明函数单调性

教学难点：函数单调性概念

一、导入课题

同学们，前面我们已经学习了函数的概念和函数的表示法。函数能够描述事物的运动变化规律，了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，接下来我们就用函数来研究一个具体事物的变化情况。

问题1：甲地某日整个上午(8：00~12:00)天气越来越暖，中午时分(12:00~13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.能否画出甲地这一天8:00~20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图像.

（请两位同学上黑板扮演，再请同学们做出点评）

点评：画图的关键就是要画出随着之间从8：00增大到20：00气温的变化趋势：随着时间从8：00增大到20：00，气温先上升在下降，再上升又下降。那么这种变化趋势在图像上是怎样反映的呢？时间从8：00增大到20：00实际上就是横坐标上，从左往右看，图像先上升在下降，再上升又下降。这样我们就用通过对函数的图像的研究了解了这个地区某天的温度变化情况。接下来我们再来看几个具体的函数图像，看看这些函数图像有什么变化趋势？这些变化趋势又反映了什么？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

三、应用示例

问题7：下列命题是否正确，请说明理由？

1、函数f(x)=1在R上是增函数;

2、函数f(x)=1/x在定义域上是减函数;

3、若对于区间(a,b)上的任意x都有f(x)>f(a),则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增;

4、若有无穷多对x1,x2∈(a,b),当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

问题8：如下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上的,它是增函数还是减函数？

让学生上来写出答案，点评时关注端点值的取得

问题9:物理学中的玻意耳定律p=k/v(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.

教师扮演，并跟学生一起总结用定义法证明函数单调性的基本步骤：取值、作差、变形、定号、结论

问题10：证明函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数。

（巩固练习）

四、课堂小结

1、函数单调性：

函数的单调性是一种局部性质，必须指明在哪个区间上

函数的单调区间不能随意“并”

2、判断函数的单调性的常用方法：

1）图像法

2）定义法：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 结论

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

一、导入课题

同学们，前面我们已经学习了函数的概念和函数的表示法。函数能够描述事物的运动变化规律，了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，接下来我们就用函数来研究一个具体事物的变化情况。

问题1：甲地某日整个上午(8：00~12:00)天气越来越暖，中午时分(12:00~13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.能否画出甲地这一天8:00~20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图像.

（请两位同学上黑板扮演，再请同学们做出点评）

点评：画图的关键就是要画出随着之间从8：00增大到20：00气温的变化趋势：随着时间从8：00增大到20：00，气温先上升在下降，再上升又下降。那么这种变化趋势在图像上是怎样反映的呢？时间从8：00增大到20：00实际上就是横坐标上，从左往右看，图像先上升在下降，再上升又下降。这样我们就用通过对函数的图像的研究了解了这个地区某天的温度变化情况。接下来我们再来看几个具体的函数图像，看看这些函数图像有什么变化趋势？这些变化趋势又反映了什么？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

二、推进新课

问题2： 观察下列各个函数的图像，函数的图像具有一个怎么样的变化趋势？

问题3： 函数图像这样的一个变化趋势能反应出函数值的一些变化规律吗？

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

点评：图像的变化趋势反应出在某个区间上，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）。接下来我们再来研究一个我们非常熟悉的函数 的图像。

我们很容易从图像上看出这个函数在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。那么我们能否用函数值的变化来刻画这种趋势呢？

问题4：从图像的变化趋势来看，函数 的图像在y轴右侧是上升的.如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

点评：在区间(0,+∞)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)也随着增大。我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数,同理我们可以说函数f(x)=x2在区间(-∞，0)上是减函数。

我们再从具体的函数值的变化上来体会一下这种“上升”“和“下降”的趋势（插入几何画板），体会完了以后我们来思考这样一个问题。

问题5：对于一般的函数y=f(x)，如果它的图像在区间[a,b]上是“上升”的.我们如何用简单明确的数学语言来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数呢？

最好是能够量化，我们还是把这个一般的问题具体化一下，给出一个明确区间[-2,2].我们可以先来思考一下

思考1：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在两个值-1和1，满足f(-1)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？能否说明这个函数在区间[-2,2]不是减函数？

两个不够，那么三个可以吗？

思考2：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在三个值-1、0、1，满足f(-1)<f(0)<f(1)，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

三个不够，那么四个可以吗？四个不够？无数个可以吗？

思考3：若函数y=f(x)在区间[-2,2]存在无数个自变量x，使得当-2<x1<x2<…<2时，有f(-2)<f(x1)<f(x2)<…<f(2) ，能否说明这个函数在区间[-2,2]是增函数？

那么几个够呢？任意值都满足当x增大时函数值也增大，但我们不可能把所有的值都去验证过来。

请大家讨论下给出你们认为比较精确的增函数的定义。

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2) ,那么就说y＝f(x)在区间D上是增函数．

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y＝f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做y＝f(x)的单调区间

点评：函数单调性是一种局部性质

问题6：函数f(x)=x是增函数？

三、应用示例

问题7：下列命题是否正确，请说明理由？

1、函数f(x)=1在R上是增函数;

2、函数f(x)=1/x在定义域上是减函数;

3、若对于区间(a,b)上的任意x都有f(x)>f(a),则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增;

4、若有无穷多对x1,x2∈(a,b),当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增

（每个小组为一个团队，大家集体讨论，然后推选出一名代表来发表你们的看法？）

问题8：如下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上的,它是增函数还是减函数？

让学生上来写出答案，点评时关注端点值的取得

问题9:物理学中的玻意耳定律p=k/v(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.

教师扮演，并跟学生一起总结用定义法证明函数单调性的基本步骤：取值、作差、变形、定号、结论

问题10：证明函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数。

（巩固练习）

四、课堂小结

1、函数单调性：

函数的单调性是一种局部性质，必须指明在哪个区间上

函数的单调区间不能随意“并”

2、判断函数的单调性的常用方法：

1）图像法

2）定义法：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 结论