1.3.1 单调性与最大（小）值教学设计(第一课时)

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

~重点：形成增（减）函数的形式化定义：引导学生对函数在区间 上“随着 增大， 也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间 上任意取 ，当 时，有 （或 ），则称函数 在区间 上单调增（或单调减）． 难点：1.形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述； 2.对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间 上任意取 ，设 ，作差 ，然后判断这个差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数．

~学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验． “图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着 增大， 也增大（或减小）”这一特征用该区间上任意的 时，有 （或 ）进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的 ． 教学中，通过二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着 的增大， 也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的 ,有 ”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着 的增大， 也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．

~为了有效实现教学目标，可以借助几何画板绘制函数图象，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征．

~1．创设情境，引入新课 前面已经学习过函数的概念、函数表示法， 知道了函数是描述事物运动变化规律的数学模型.在事物的变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质.对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快或慢、增或减……等特征 ，相应于函数就是函数的性质（特征）.函数的性质包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，函数图象的对称性等．研究函数的性质，是为了更好地把握事物的运动变化规律． 问题1.观察下列函数的图象，你能说说这些函数的图象分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？ 设计意图：借助对一些函数图象的观察、对所观察到的特征进行归类，启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入函数的某个性质的研究. 学生回答：函数图象有上升的特征，图象有下降的特征，图象有时上升有时下降的特征，图象有关于 轴对称的特征，图象有关于原点对称的特征等． 函数图象的这些特征就是函数性质的反应，我们将逐一研究这些性质． （板书：1.3函数的基本性质） 问题2：（1）观察下列函数图象是如何变化的？ 学生回答：从左至右图象呈上升趋势. （2）观察下列函数图象是如何变化的？ 学生回答：从左至右图象呈下降趋势. （3）观察下列函数图象是如何变化的？ 学生回答：从左至右图象在 轴左侧呈下降趋势，在 轴右侧呈上升趋势. 设计意图：借助对一些函数图象的观察，使学生由图象获取函数单调性的直观认识，从而引入新课. 教学中注意引导学生从左至右观察函数的变化趋势. 学生回答后，教师归纳：ppt 10 从上面的函数图象可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同. 函数图象“上升”、“下降”的这种规律反映了函数的一个基本性质——函数的单调性. （板书：1.3.1单调性与最大（小）值） 2. 借助图象，直观感知 教师：人们在进行科学探究时通常采用的研究方法是由具体到抽象，由特殊到一般. 我们的数学学习也是如此.下面我们以熟悉的二次函数 为例，通过函数的图象来探究函数的单调性. 问题3.如图，函数 的图象在从左至右是上升的，函数图象的变化是通过函数图象上的点的变化来体现的，我们看一看在 轴右侧函数图象上点的变化（多媒体演示点的变化）.那么如何用数学语言来描述这种“上升”呢？即如何用函数 的解析式来描述呢？ 设计意图：指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述. 子问题1. 在函数的表示法里我们了解了函数的图象与函数的解析式之间的关系，二者之间有什么关系呢？ 学生回答：函数图象上点的横坐标是函数自变量 ，点的纵坐标是函数值 . 教师：因此函数图象的变化特征要通过函数的自变量 、函数值 的变化来描述.由此我们探究用函数 的解析式来描述函数 的图象在 轴右侧从左至右是“上升”的特征，就要探究函数 的自变量 、函数值 的变化情况.我们先从自变量 、函数值 的一些具体的值开始探究. 子问题2：完成下列函数 的对应值表，并观察表格中，在区间 上随着自变量 的值的变大，函数值 是如何变化的？ 设计意图：从一个特殊例子，结合前面的图象特征，引导学生关注图象所反映出的性质，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图象上的表现，从数值变化角度认识函数的单调性． 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 1 4 9 16 25 36 49 … 学生填表并回答：. 子问题3. 如何用函数 的解析式来描述“随着自变量 的值的变大，函数值 也增大”呢？ 设计意图：引导学生由具体到抽象进行思考，用数学符号（字母）表示具体数字. 学生回答：当 时，都有 . 子问题4.在表格中随意改变自变量 的值为 ，当 时，都有 吗？设计意图：通过在区间 任意取定两个数值，计算它们的值进行比较，并通过几何画板演示，使学生认识到上面的发现是正确的. 学生表述各自的结论，教师评价，然后提出： 子问题5. 刚才我们所验证的是一些具体的、有限个自变量 的值，若对于区间 上任意的 ，当 时，是否都有 呢？ 设计意图：引导学生的思考自变量 的值从具体的、有限个值到任意的值的转化，把学生的思维引导了思考怎样表述“任意性”上来. 子问题6.你能不能用数学的方法证明你的结论，即对于 上任意的 ，当 时，都有 ，即 ？ 学生思考，教师提示：我们要证明的结论就是要比较两个数的大小，在数学中如何比较两个数的大小呢？ 学生回答后（作差），要求学生把过程用数学符号表示出来. ， 由于 ，所以 ； 又由 得 。 所以 ，即 . 学生思考、交流.教师归纳： 函数 在 上的图象是上升的，即函数值 随着自变量 的增大而增大，用函数解析式来描述就是：对于 上任意的 ，当 时，都有 ，即 . 教师：接下来我们再看两个具有这种性质函数： 子问题7.如图，函数 在 上的图象是上升的，即函数值 随着自变量 的增大而增大，仿照描述函数 在 上函数值 随着自变量 的增大而增大的过程，你能描述函数 在 上“函数值 随着自变量 的增大而增大”吗？ 学生回答：对于任意的 ，当 时，都有 . 子问题8. 如图，函数 在 上的图象是上升的又该如何用函数 的解析式描述？ 学生回答：对于任意的 ，当 时，都有 . 3. 归纳探索，形成概念 教师：通过对三个具体函数图象的探究，发现函数的图象是上升的，就是说函数值 随着自变量 的增大而增大，并能用函数的解析式来描述.下面我们把这个结论从特殊的几个函数推广到一般： 问题4.如图，对于一般的函数 ，在定义域 内某个区间 上的图象是上升的，即“随着 的增大，相应的函数值 也随着增大” ，如何利用函数解析式 描述这种变化呢？ 设计意图：从形象到抽象，从具体到一般．先让学生尝试描述一般函数 在 上“图象上升”、“随着 的增大，相应的 值也增大”的特征，引出增函数的定义. 学生思考、交流、回答，教师归纳： 在定义域 内某个区间 上取任意的两个自变量的值 ，当 时，都有 . 我们把具有这种性质的函数叫做增函数. 例如：函数 在 上是增函数； 函数 在 上是增函数； 函数 在 上增函数. 问题5.对于一般的函数 ，我们应当如何定义增函数呢？ 学生讨论、交流，说出各自的想法，教师分析、评价，补充完善后给出增函数的定义： 设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数. (教师板书增函数的定义) 问题6.思考：下列说法是否正确？请画图说明理由： （1）对于区间上 的某2个自变量的值 ，当 时，有 ，则函数 在区间 上是增函数； （2）如果对于区间 上的任意 有 ，则函数 在区间 上是增函数． 设计意图：使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性． 问题7.通过思考题，你能分析一下增函数定义的要点吗？ 设计意图：使学生加深对增函数定义的认识. 教师引导学生分析增函数定义的数学表述，体会定义中关于“区间内任意两个自变量都有……”的含义. 教师评价后指出：刚才我们探究增函数定义的过程是先观察图象，再猜测结论，然后进行数学证明，最后给出定义.这是我们在数学研究中常用的一种科学方法，下面我们运用这种方法来探究“函数 的图象在 轴左侧是下降的”这种特征. 问题8：从函数图象上可以看到， 的图象在 轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出什么结论？ 设计意图：得出减函数的定义，并由此培养学生类比的能力. 子问题1. 函数 在 上的图象是下降的，即随着自变量 的值的变大，函数值 是如何变化的？ 子问题2.函数 在 上的图象是下降的，即函数值 随着自变量 的增大而减小，用函数 的解析式如何描述？ 函数 在 上的图象是下降的，即函数值 随着自变量 的增大而减小，用函数解析式来描述就是：对于 上任意的 ，当 时，都有 ，即 . 子问题3. 如图，对于一般的函数 ，在定义域 内某个区间 上的图象是下降的，即“随着 的增大，相应的函数值 随着减小” ，如何利用函数解析式 描述呢？ 学生思考、交流、回答，教师归纳: 在定义域 内某个区间 上取任意的两个自变量的值 ，当 时，都有 . 子问题4. 我们把具有这种性质的函数叫做减函数.对于一般的函数 类比增函数的定义，我们应当如何定义减函数呢？ 学生讨论、交流，说出各自的想法，教师分析、评价，补充完善后给出增函数的定义： 设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数. (多媒体展示减函数的定义) 子问题5.类比增函数的定义，你能分析一下减函数定义的要点吗？ 设计意图：使学生加深对减函数定义的认识. 教师引导学生分析减函数定义的数学表述，体会定义中关于“区间内任意两个自变量都有……”的含义. 学生讨论、交流后，教师多媒体展示单调区间的定义： 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间. 例如：函数 的定义域是 ， 函数 的单调区间是 ， 函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数； 函数 的定义域是 ，函数 的单调区间是 ， 函数 在 上是增函数. 4．例题讲解，运用概念，课堂练习，知识巩固 教师：我们通过观察——猜想——论证，得到了增函数、减函数的概念，下面我们应用概念解决数学问题. 通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识． 例1：下图是定义在 上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以及在每一单调区间上， 是增函数还是减函数. 设计意图：通过例1使学生能够根据函数的图象正确写出函数的单调区间.并向学生强调： （1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题； （2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。 分析：例1中提出了几个问题？分别是什么？ 解： 函数的单调区间有 ； 其中函数 在区间 , 上是增函数，在区间 , 上是减函数. 练习1: 教材第32页 练习1： 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 解：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而增加，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高. 练习2. 教材第32页 练习2： 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数？ 解：函数的单调区间有 其中函数 在区间 , 上是增函数，在区间 , 上是减函数. 练习3.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一时刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 设计意图：使学生体验到用函数的图象来刻画函数的单调性． 例2 物理学中的波意耳定律 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积 减小时，压强 将增大．试用函数的单调性证明之． 分析：（1）怎样来证明“体积 减小时，压强 将增大”呢？ 根据函数单调性的定义，只要证明函数 是正常数）是减函数． （2）怎样证明函数 是正常数）是减函数呢？ 只要在区间 （因为体积 ）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即 设 ，去证明 ．也就是只要证明 ． 证明：设 是定义域 上的任意两个实数，且 ，则 ． 由 ，得 ； 由 ，得 ． 又 ，于是 ， 即 ． 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积 减小时，压强 将增大． 教师把重心放在思路的分析（函数单调性的理解、运用）上，而让学生进行具体证明步骤的书写． 问题9.通过例2你能总结一下证明一个函数是某个区间上的增（减）函数的步骤吗？ 设计意图：使学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤. 学生议论、交流、总结，教师评价、归纳，得出利用定义证明函数单调性的步骤： （1）任意取值：即设 是该区间内的任意两个值，且 ； （2）作差变形：作差 ，变形 ； （3）判断定号：确定 的符号； （4）得出结论：根据定义作出结论. 即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论” 练习4. 教材第32页 练习4：证明函数 在 上是减函数. 练习5. 5.课堂小结，知识梳理 问题10.（1）通过增（减）函数定义的形成过程，你学习到了什么？ 学生议论、交流、总结，教师评价、归纳： 研究函数性质的一般方法： 第一步：观察图象，描述函数图象特征； 第二步：结合图、表，用自然语言描述函数图象的特征； 第三步：用数学符号的语言定义函数的性质. （2）增（减）函数的图象有什么特点？如何根据函数的图象指出单调区间？ （3）判断函数的单调性有哪些方法？ ① 利用图象观察； ② 利用定义证明. （4）怎样用定义证明函数的单调性？ 即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论” 6.布置作业，教学延伸 （1）习题1.3 A组：1,2,3题； （2）探究：画出反比例函数 的图象. ① 这个函数的定义域 是什么? ② 这个函数在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论. 解答：答：（图象略）． ① 这个函数的定义域 ； ② 在区间 上函数单调减，在区间 上函数也单调减．（证明略）

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

~1．创设情境，引入新课 前面已经学习过函数的概念、函数表示法， 知道了函数是描述事物运动变化规律的数学模型.在事物的变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质.对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快或慢、增或减……等特征 ，相应于函数就是函数的性质（特征）.函数的性质包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，函数图象的对称性等．研究函数的性质，是为了更好地把握事物的运动变化规律． 问题1.观察下列函数的图象，你能说说这些函数的图象分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？ 设计意图：借助对一些函数图象的观察、对所观察到的特征进行归类，启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入函数的某个性质的研究. 学生回答：函数图象有上升的特征，图象有下降的特征，图象有时上升有时下降的特征，图象有关于 轴对称的特征，图象有关于原点对称的特征等． 函数图象的这些特征就是函数性质的反应，我们将逐一研究这些性质． （板书：1.3函数的基本性质） 问题2：（1）观察下列函数图象是如何变化的？ 学生回答：从左至右图象呈上升趋势. （2）观察下列函数图象是如何变化的？ 学生回答：从左至右图象呈下降趋势. （3）观察下列函数图象是如何变化的？ 学生回答：从左至右图象在 轴左侧呈下降趋势，在 轴右侧呈上升趋势. 设计意图：借助对一些函数图象的观察，使学生由图象获取函数单调性的直观认识，从而引入新课. 教学中注意引导学生从左至右观察函数的变化趋势. 学生回答后，教师归纳：ppt 10 从上面的函数图象可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同. 函数图象“上升”、“下降”的这种规律反映了函数的一个基本性质——函数的单调性. （板书：1.3.1单调性与最大（小）值） 2. 借助图象，直观感知 教师：人们在进行科学探究时通常采用的研究方法是由具体到抽象，由特殊到一般. 我们的数学学习也是如此.下面我们以熟悉的二次函数 为例，通过函数的图象来探究函数的单调性. 问题3.如图，函数 的图象在从左至右是上升的，函数图象的变化是通过函数图象上的点的变化来体现的，我们看一看在 轴右侧函数图象上点的变化（多媒体演示点的变化）.那么如何用数学语言来描述这种“上升”呢？即如何用函数 的解析式来描述呢？ 设计意图：指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述. 子问题1. 在函数的表示法里我们了解了函数的图象与函数的解析式之间的关系，二者之间有什么关系呢？ 学生回答：函数图象上点的横坐标是函数自变量 ，点的纵坐标是函数值 . 教师：因此函数图象的变化特征要通过函数的自变量 、函数值 的变化来描述.由此我们探究用函数 的解析式来描述函数 的图象在 轴右侧从左至右是“上升”的特征，就要探究函数 的自变量 、函数值 的变化情况.我们先从自变量 、函数值 的一些具体的值开始探究. 子问题2：完成下列函数 的对应值表，并观察表格中，在区间 上随着自变量 的值的变大，函数值 是如何变化的？ 设计意图：从一个特殊例子，结合前面的图象特征，引导学生关注图象所反映出的性质，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图象上的表现，从数值变化角度认识函数的单调性． 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 1 4 9 16 25 36 49 … 学生填表并回答：. 子问题3. 如何用函数 的解析式来描述“随着自变量 的值的变大，函数值 也增大”呢？ 设计意图：引导学生由具体到抽象进行思考，用数学符号（字母）表示具体数字. 学生回答：当 时，都有 . 子问题4.在表格中随意改变自变量 的值为 ，当 时，都有 吗？设计意图：通过在区间 任意取定两个数值，计算它们的值进行比较，并通过几何画板演示，使学生认识到上面的发现是正确的. 学生表述各自的结论，教师评价，然后提出： 子问题5. 刚才我们所验证的是一些具体的、有限个自变量 的值，若对于区间 上任意的 ，当 时，是否都有 呢？ 设计意图：引导学生的思考自变量 的值从具体的、有限个值到任意的值的转化，把学生的思维引导了思考怎样表述“任意性”上来. 子问题6.你能不能用数学的方法证明你的结论，即对于 上任意的 ，当 时，都有 ，即 ？ 学生思考，教师提示：我们要证明的结论就是要比较两个数的大小，在数学中如何比较两个数的大小呢？ 学生回答后（作差），要求学生把过程用数学符号表示出来. ， 由于 ，所以 ； 又由 得 。 所以 ，即 . 学生思考、交流.教师归纳： 函数 在 上的图象是上升的，即函数值 随着自变量 的增大而增大，用函数解析式来描述就是：对于 上任意的 ，当 时，都有 ，即 . 教师：接下来我们再看两个具有这种性质函数： 子问题7.如图，函数 在 上的图象是上升的，即函数值 随着自变量 的增大而增大，仿照描述函数 在 上函数值 随着自变量 的增大而增大的过程，你能描述函数 在 上“函数值 随着自变量 的增大而增大”吗？ 学生回答：对于任意的 ，当 时，都有 . 子问题8. 如图，函数 在 上的图象是上升的又该如何用函数 的解析式描述？ 学生回答：对于任意的 ，当 时，都有 . 3. 归纳探索，形成概念 教师：通过对三个具体函数图象的探究，发现函数的图象是上升的，就是说函数值 随着自变量 的增大而增大，并能用函数的解析式来描述.下面我们把这个结论从特殊的几个函数推广到一般： 问题4.如图，对于一般的函数 ，在定义域 内某个区间 上的图象是上升的，即“随着 的增大，相应的函数值 也随着增大” ，如何利用函数解析式 描述这种变化呢？ 设计意图：从形象到抽象，从具体到一般．先让学生尝试描述一般函数 在 上“图象上升”、“随着 的增大，相应的 值也增大”的特征，引出增函数的定义. 学生思考、交流、回答，教师归纳： 在定义域 内某个区间 上取任意的两个自变量的值 ，当 时，都有 . 我们把具有这种性质的函数叫做增函数. 例如：函数 在 上是增函数； 函数 在 上是增函数； 函数 在 上增函数. 问题5.对于一般的函数 ，我们应当如何定义增函数呢？ 学生讨论、交流，说出各自的想法，教师分析、评价，补充完善后给出增函数的定义： 设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数. (教师板书增函数的定义) 问题6.思考：下列说法是否正确？请画图说明理由： （1）对于区间上 的某2个自变量的值 ，当 时，有 ，则函数 在区间 上是增函数； （2）如果对于区间 上的任意 有 ，则函数 在区间 上是增函数． 设计意图：使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性． 问题7.通过思考题，你能分析一下增函数定义的要点吗？ 设计意图：使学生加深对增函数定义的认识. 教师引导学生分析增函数定义的数学表述，体会定义中关于“区间内任意两个自变量都有……”的含义. 教师评价后指出：刚才我们探究增函数定义的过程是先观察图象，再猜测结论，然后进行数学证明，最后给出定义.这是我们在数学研究中常用的一种科学方法，下面我们运用这种方法来探究“函数 的图象在 轴左侧是下降的”这种特征. 问题8：从函数图象上可以看到， 的图象在 轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出什么结论？ 设计意图：得出减函数的定义，并由此培养学生类比的能力. 子问题1. 函数 在 上的图象是下降的，即随着自变量 的值的变大，函数值 是如何变化的？ 子问题2.函数 在 上的图象是下降的，即函数值 随着自变量 的增大而减小，用函数 的解析式如何描述？ 函数 在 上的图象是下降的，即函数值 随着自变量 的增大而减小，用函数解析式来描述就是：对于 上任意的 ，当 时，都有 ，即 . 子问题3. 如图，对于一般的函数 ，在定义域 内某个区间 上的图象是下降的，即“随着 的增大，相应的函数值 随着减小” ，如何利用函数解析式 描述呢？ 学生思考、交流、回答，教师归纳: 在定义域 内某个区间 上取任意的两个自变量的值 ，当 时，都有 . 子问题4. 我们把具有这种性质的函数叫做减函数.对于一般的函数 类比增函数的定义，我们应当如何定义减函数呢？ 学生讨论、交流，说出各自的想法，教师分析、评价，补充完善后给出增函数的定义： 设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数. (多媒体展示减函数的定义) 子问题5.类比增函数的定义，你能分析一下减函数定义的要点吗？ 设计意图：使学生加深对减函数定义的认识. 教师引导学生分析减函数定义的数学表述，体会定义中关于“区间内任意两个自变量都有……”的含义. 学生讨论、交流后，教师多媒体展示单调区间的定义： 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间. 例如：函数 的定义域是 ， 函数 的单调区间是 ， 函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数； 函数 的定义域是 ，函数 的单调区间是 ， 函数 在 上是增函数. 4．例题讲解，运用概念，课堂练习，知识巩固 教师：我们通过观察——猜想——论证，得到了增函数、减函数的概念，下面我们应用概念解决数学问题. 通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识． 例1：下图是定义在 上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以及在每一单调区间上， 是增函数还是减函数. 设计意图：通过例1使学生能够根据函数的图象正确写出函数的单调区间.并向学生强调： （1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题； （2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。 分析：例1中提出了几个问题？分别是什么？ 解： 函数的单调区间有 ； 其中函数 在区间 , 上是增函数，在区间 , 上是减函数. 练习1: 教材第32页 练习1： 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 解：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而增加，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高. 练习2. 教材第32页 练习2： 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数？ 解：函数的单调区间有 其中函数 在区间 , 上是增函数，在区间 , 上是减函数. 练习3.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一时刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 设计意图：使学生体验到用函数的图象来刻画函数的单调性． 例2 物理学中的波意耳定律 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积 减小时，压强 将增大．试用函数的单调性证明之． 分析：（1）怎样来证明“体积 减小时，压强 将增大”呢？ 根据函数单调性的定义，只要证明函数 是正常数）是减函数． （2）怎样证明函数 是正常数）是减函数呢？ 只要在区间 （因为体积 ）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即 设 ，去证明 ．也就是只要证明 ． 证明：设 是定义域 上的任意两个实数，且 ，则 ． 由 ，得 ； 由 ，得 ． 又 ，于是 ， 即 ． 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积 减小时，压强 将增大． 教师把重心放在思路的分析（函数单调性的理解、运用）上，而让学生进行具体证明步骤的书写． 问题9.通过例2你能总结一下证明一个函数是某个区间上的增（减）函数的步骤吗？ 设计意图：使学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤. 学生议论、交流、总结，教师评价、归纳，得出利用定义证明函数单调性的步骤： （1）任意取值：即设 是该区间内的任意两个值，且 ； （2）作差变形：作差 ，变形 ； （3）判断定号：确定 的符号； （4）得出结论：根据定义作出结论. 即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论” 练习4. 教材第32页 练习4：证明函数 在 上是减函数. 练习5. 5.课堂小结，知识梳理 问题10.（1）通过增（减）函数定义的形成过程，你学习到了什么？ 学生议论、交流、总结，教师评价、归纳： 研究函数性质的一般方法： 第一步：观察图象，描述函数图象特征； 第二步：结合图、表，用自然语言描述函数图象的特征； 第三步：用数学符号的语言定义函数的性质. （2）增（减）函数的图象有什么特点？如何根据函数的图象指出单调区间？ （3）判断函数的单调性有哪些方法？ ① 利用图象观察； ② 利用定义证明. （4）怎样用定义证明函数的单调性？ 即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论” 6.布置作业，教学延伸 （1）习题1.3 A组：1,2,3题； （2）探究：画出反比例函数 的图象. ① 这个函数的定义域 是什么? ② 这个函数在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论. 解答：答：（图象略）． ① 这个函数的定义域 ； ② 在区间 上函数单调减，在区间 上函数也单调减．（证明略）