高中数学对称问题分类探析

      对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。

　　一、点关于已知点或已知直线对称点问题

　　1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，

　　x′=2a-x

　　由中点坐标公式可得：y′=2b-y

　　2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为

　　x′=x-(Ax+By+C)

　　P′(x′，y′)则

　　y′=y-(AX+BY+C)

　　事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C

　　解此方程组可得结论。

　　(- )=-1(B≠0)

　　特别地，点P(x，y)关于

　　1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)

　　2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)

　　3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)

　　例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。

　　解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点

　　A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0

　　｀C(0, )

　　｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0

　　二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题

　　求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。

　　1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=0

　　2、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0

　　特别地，曲线F(x，y)=0关于

　　(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0

　　(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0

　　(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0

　　除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。

　　例2(全国高考试题)设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：

　　1)写出曲线C1的方程

　　2)证明曲线C与C1关于点A( , )对称。

　　(1)解 知C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s

　　(2)证明 在曲线C上任取一点B(a,b)，设B1(a1,b1)是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：

　　s-b1=(t-a1)3-(t-a1)

　　｀b1=(a1-t)3-(a1-t)+s

　　｀B1(a1,b1)满足C1的方程

　　｀B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上

　　｀曲线C和C1关于a对称

　　我们用前面的结论来证：点P(x,y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y)，为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)

　　｀y=(x-t)3-(x-t)+s

　　此即为C1的方程，｀C关于A的对称曲线即为C1。

　　三、曲线本身的对称问题

　　曲线F(x,y)=0为(中心或轴)对称曲线的充要条件是曲线F(x,y)=0上任意一点P(x,y)(关于对称中心或对称轴)的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。

　　例如抛物线y2=-8x上任一点p(x,y)与x轴即y=0的对称点p′(x,-y)，其坐标也满足方程y2=-8x，｀y2=-8x关于x轴对称。

　　例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲线：

　　A、关于y轴对称 B、关于直线x+y=0对称

　　C、关于原点对称 D、关于直线x-y=0对称

　　解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得

　　(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变

　　｀曲线关于原点对称。

　　函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：

　　1、函数f(x)定义线为R，a为常数，若对任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于x=a对称。

　　这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。

　　例如对于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)则f(x)图象关于x=2对称。若将条件改为f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)结论又如何呢？第一式中令t=1+m则得f(2+m)=f(2-m)；第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：

　　2、函数f(x)定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，则其图象关于直线x= 对称。

　　我们再来探讨以下问题：若将条件改为f(2+t)=-f(2-t)结论又如何呢？试想如果2改成0的话得f(t)=-f(t)这是奇函数，图象关于(0,0)成中心对称，现在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我们猜想，图象关于M(2，0)成中心对称。如图，取点A(2+t，f(2+t))其关于M(2，0)的对称点为A′(2-x，-f(2+x))

　　∵-f(2+X)=f(2-x)｀A′的坐标为(2-x，f(2-x))显然在图象上  

　　｀图象关于M(2，0)成中心对称。

　　若将条件改为f(x)=-f(4-x)结论一样，推广至一般可得以下重要结论：

　　3、f(X)定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，则其图象关于点M(，0)成中心对称。

　　作者简介

　　潭玉石：2001—2006年在湖南省一重点中学任校长，2006年至今任中山市杨仙逸中学校长。中学数学特级教师，广东省普通中学教学水平评估专家。