14.3因式分解（通用）优秀获奖教案

地区： 四川省 - 泸州市 - 江阳区

学校：泸州市周永福第一实验学校

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
                           （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法，提公因式法。
㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问 题能力与综合应用能力。
㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。

学情分析 基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学 生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。
学生的技能基础的分析：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础。
学生活动经验基础的分析：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。

教学重点：因式分解的概念及提公因式法。
教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。 

教学过程活动
活动1：

复习引入.看谁算得快：用简便方法计算：
（1）7/9 ×13-7/9 ×6+7/9 ×2=        ；　（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=      ；
（3）992–1=       。

学生在计算是分为两类：一是正确应用因数分解的办法进行简便计算；二是不懂正确应用因数分解的办法进行简便计算，而采取实实在在计算办法进行计算。

如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算 ——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．
注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式。

活动2：

1.计算：（1）x(x+1)=            

（2）(x+1)(x－1)=         

2. 请把下列多项式写成整式的乘积的形式:

(1)x2+x=___________;

(2)x2 – 1=__________

x2-1  因式分解(x+1)(x-1)

整式乘法

练习一   理解概念

判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

          (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；

           (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy

           (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；

           (4) x2+4x+4=(x+2)2 ；

           (5) (a－3)(a+3)=a2－9

           (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
导入课题  pa+pb+pc 它的各项都有一个公共的因式p,我们把因式p叫做这个多项式的

由p(a+b+c) = pa+pb+pc可得:

      pa+pb+pc =p(a+b+c)这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以 p所得的商.

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公

因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式

的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法

活动3：探究新知

练习二 说出下列多项式各项的公因式：

(1)ma + mb ；

(2)4kx－ 8ky ；

(3)5y3+20y2 ；

(4)a2b－2ab2+ab

8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？

例1  把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.

解:8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc

=4ab2(2a2+3bc).

例2    把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.

分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.

解:2a(b+c) – 3(b+c)

=(b+c)(2a-3).

动手试一试你会了吗？
练习三 ：

把下列各式用提公因式法因式分解

①3mx-6my

   ②x2y+xy2

   ③12a2b3－8a3b2－16ab4

课堂练习

1.把下列各式分解因式:                                                  

(1)  8m2n+2mn;          (2)12xyz-9x2y2;

(3)2a(y-z)-3b(z-y);    (4)p(a2+b2)-q(a2+b2).

 2.先分解因式,再求值:

  4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.

3.计算5×34+24×33+63×32.

课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？

学生发言。

通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解

注意：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式 的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止。

课后作业

把下列各式分解因式：1．2a－4b;               2．ax2+ax－4a;3．3ab2－3a2b;         4．2x3+2x2－6x;5．7x2+7x+14;          6．－12a2b+24ab2;

7．xy－x2y2－x3y3;    8．27x3+9x2y

教学反思
本节课引出因式分解概念，并通过与整式乘法的互逆运算让学生明确因式分解与整式乘法的区别与联系，取得了良好的教学效果。基本能够完成教学任务，但缺乏高效的学生参与环节。
提取公因式进行因式分解关键在于正确找到公因式。如何找公因式？
1、系数部分：各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2、字母部分：相同字母作为公因式的字母部分；
3、相同字母指数部分：各项中相同字母指数中最低的一个作为相同字母的指数。
    找到公因式后，第一步，把各项都转化成公因式与某个因式积的形式。 第二步，提出公因式，且把各项剩余的部分用括号括起来作为一项。
学生课堂板演中暴露的问题主要有：
1、找不全公因式，或直接不会找公因式。
2、提出公因式后，不知道接下来如何去做。
我总结的原因主要有： １、思想上不重视，只是将它作为一个简单的内容来看，听起来觉着会了，做起来就不容易了。
２、最好结合例子说明提取公因式进行因式分解的步骤。
3、拿到题目先观察各项特点，再动笔写。
传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解，其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆．
在新课程的教学中，对因式分解的记忆退到了次要的位置，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．在教师的指导下，学生通过因 数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然．在讲解例题与练习的过程中，全班同学思维活跃，踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。
在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴奋。
尽 管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上。
总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．
再教设计：在探索及运用提公因式法进行分解因式时，应该让学生多练习一些有关幂的运算中应用提公因式法（因式分解）的题目，更加容易加深学生的理解，以及拓展应用提公因式法进行因式分解
再教设计：在探索及运用提公因式法进行分解因式时，应该让学生多练习一些有关幂的运算中应用提公因式法（因式分解）的题目，更加容易加深学生的理解，以及拓展应用提公因式法进行因式分解。

14.3　因式分解

14.3　因式分解

教学过程活动
活动1：

复习引入.看谁算得快：用简便方法计算：
（1）7/9 ×13-7/9 ×6+7/9 ×2=        ；　（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=      ；
（3）992–1=       。

学生在计算是分为两类：一是正确应用因数分解的办法进行简便计算；二是不懂正确应用因数分解的办法进行简便计算，而采取实实在在计算办法进行计算。

如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算 ——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．
注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式。

活动2：

1.计算：（1）x(x+1)=            

（2）(x+1)(x－1)=         

2. 请把下列多项式写成整式的乘积的形式:

(1)x2+x=___________;

(2)x2 – 1=__________

x2-1  因式分解(x+1)(x-1)

整式乘法

练习一   理解概念

判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

          (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；

           (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy

           (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；

           (4) x2+4x+4=(x+2)2 ；

           (5) (a－3)(a+3)=a2－9

           (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
导入课题  pa+pb+pc 它的各项都有一个公共的因式p,我们把因式p叫做这个多项式的

由p(a+b+c) = pa+pb+pc可得:

      pa+pb+pc =p(a+b+c)这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以 p所得的商.

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公

因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式

的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法

活动3：探究新知

练习二 说出下列多项式各项的公因式：

(1)ma + mb ；

(2)4kx－ 8ky ；

(3)5y3+20y2 ；

(4)a2b－2ab2+ab

8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？

例1  把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.

解:8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc

=4ab2(2a2+3bc).

例2    把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.

分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.

解:2a(b+c) – 3(b+c)

=(b+c)(2a-3).

动手试一试你会了吗？
练习三 ：

把下列各式用提公因式法因式分解

①3mx-6my

   ②x2y+xy2

   ③12a2b3－8a3b2－16ab4

课堂练习

1.把下列各式分解因式:                                                  

(1)  8m2n+2mn;          (2)12xyz-9x2y2;

(3)2a(y-z)-3b(z-y);    (4)p(a2+b2)-q(a2+b2).

 2.先分解因式,再求值:

  4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.

3.计算5×34+24×33+63×32.

课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？

学生发言。

通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解

注意：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式 的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止。

课后作业

把下列各式分解因式：1．2a－4b;               2．ax2+ax－4a;3．3ab2－3a2b;         4．2x3+2x2－6x;5．7x2+7x+14;          6．－12a2b+24ab2;

7．xy－x2y2－x3y3;    8．27x3+9x2y

教学反思
本节课引出因式分解概念，并通过与整式乘法的互逆运算让学生明确因式分解与整式乘法的区别与联系，取得了良好的教学效果。基本能够完成教学任务，但缺乏高效的学生参与环节。
提取公因式进行因式分解关键在于正确找到公因式。如何找公因式？
1、系数部分：各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2、字母部分：相同字母作为公因式的字母部分；
3、相同字母指数部分：各项中相同字母指数中最低的一个作为相同字母的指数。
    找到公因式后，第一步，把各项都转化成公因式与某个因式积的形式。 第二步，提出公因式，且把各项剩余的部分用括号括起来作为一项。
学生课堂板演中暴露的问题主要有：
1、找不全公因式，或直接不会找公因式。
2、提出公因式后，不知道接下来如何去做。
我总结的原因主要有： １、思想上不重视，只是将它作为一个简单的内容来看，听起来觉着会了，做起来就不容易了。
２、最好结合例子说明提取公因式进行因式分解的步骤。
3、拿到题目先观察各项特点，再动笔写。
传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解，其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆．
在新课程的教学中，对因式分解的记忆退到了次要的位置，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．在教师的指导下，学生通过因 数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然．在讲解例题与练习的过程中，全班同学思维活跃，踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。
在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴奋。
尽 管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上。
总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．
再教设计：在探索及运用提公因式法进行分解因式时，应该让学生多练习一些有关幂的运算中应用提公因式法（因式分解）的题目，更加容易加深学生的理解，以及拓展应用提公因式法进行因式分解
再教设计：在探索及运用提公因式法进行分解因式时，应该让学生多练习一些有关幂的运算中应用提公因式法（因式分解）的题目，更加容易加深学生的理解，以及拓展应用提公因式法进行因式分解。