14.3因式分解（通用）板书设计及意图

地区： 江西省 - 赣州市 - 信丰县

学校：信丰县第三中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

知识与技能:了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系；

数学思考：了解多项式的公因式的意义并能找出公因式，会用提公因式法分解因式；

问题解决：通过找公因式，培养学生的观察能力；

情感态度：经历探索提公因式法分解因式的过程，体会逆向思维、渗透化归的思想方法

本节学习的因式分解知识是多项式因式分解中一部分最基本的知识和最基础的方法，受认知水平和思维水平的限制，仍会有较多的学生不适应，掌握不好，教材充分考虑了这一点，内容梯度小，知识点少且浅，利于学生的学习。

重点：运用提公因式法分解因式。

难点：正确理解因式分解的概念准确找出公因式。

一、创设情境

1、轻松一下

文化大革命时期，有个身份清白的工人，生了个大儿子，取名叫爱国，过两年，生了二儿子，取名叫爱民，有过两年，生了三儿子，取名叫爱党，可这一天，造反派到他们家来抓人了，工人问：“为什么抓我？”造反派说：“我们到今天才知道你是一个反革命，爱国、爱民、爱党，提取公因式‘爱’，就是爱国民党。”老师板书“爱国+爱民+爱党＝爱（国+民+党）”。

2、20142+2014能被2015整除吗？

师生活动：教师展示课件，学生独立思考，教师写出课题。

设计意图：通过幽默小故事和与年份有关的计算，激发学生的学习兴趣。

二、自主探究

了解因式分解的概念

计算：

（1）x(x+1) =          ； （2）(x+1)(x-1) =          ；

探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式

x2+x=               (2)  x2-1 =          

归纳：将一个多项式化成             的形式，这种式子变形叫做这个多项式的          ，也叫做把这个多项式分解因式。

师生活动：学生观察并独立思考，尝试着写出答案，在教师给出因式分解的概念之后，学生回答因式分解与整式乘法是互逆变形关系。

设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察，思考和操作的过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做辅垫。

练习1、下列变形中，属于因式分解的是            （填序号）

(1) a(b+c)=ab+ac           (2) x3+2x2-3=x2(x+2)-3       

 (3) a2-b2=(a+b)(a-b)         (4) x2+4x+4=(x+2) 2

想一想：分解因式与整式乘法有何关系?

设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念。

2、探索因式分解的方法——提公因式法

问题：你能试着将多项式pa+pd+pc分解因式吗？这个多项式有什么特点？

例: 找 3 x2– 6xy  的公因式

正确找出多项式各项公因式的关键是：

①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的          。                      

②定字母： 字母取多项式各项中都含有的         的字母。                          

③定指数： 相同字母的指数取各项中的        一个，即字母最低次幂。

找一找:  下列各多项式的公因式是什么？

(1)3x+6y                          (2) 8a3b2-12ab3c                

(3) 2a(b+c)-3(b+c)                  (4) 2c(a-b)-3b(b-a)             

注意：公因式既可以是一个       的形式， 也可以是一个       的形式.

将多项式pa+pd+pc分解因式

由p(a+b+c)=pa+pb+pc       　 

可得pa+pb+pc=p(a+b+c)

得出结论：上题中的因式p叫做这个多项式各项的公因式。一般地,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后学生代表展示求解过得，在回答后，学生能发现这个多项式的各项都有一个公共的因式，教师指出此因式叫做这个多项式各项的公因式，在得出pa+pb+pc=p(a+b+c)后，学生发现：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把各个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。教师指出：这种分解因式的方法叫做提公因式法。

设计意图：让学生进一步了解因式分解与整式乘法的关系；了解因式分解的理论依据；了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式。

初步应用提公因式法，

例1：把8a3b2-12ab3c分解因式                例2：把2a(b+c)-3(b+c)分解因式

整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。

归纳：提公因式法步骤（分两步）

    第一步:找出公因式；

    第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。

想一想: 如何检查因式分解是否正确？

在分解完因式后，按照整式乘法把因式再乘回去看结果是否与原式相等，如果相同就说明正确，否则就错了。

师生活动：例1师生共同分析，此时老师引导学生明白找8a3b2与12ab3c的公因式的基本程序：先看系数8与12的最大公约数，再找出两项字母部分a3b2与ab3c都含的字母a和b，然后找出都含的字母a和b的最低次数，进而选定8a3b2与12ab3c的公因式——4ab2. 师生互动交流，最后达成共识：用提公因式法分解因式时，最后一定要满足条件——各因式中再无公因式。例2学生独立完成，学生展示，师生共同交流。

设计意图：通过例题的教学，引导学生：（1）了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤；（2）积累找公因式的经验——找到公因式的最简单的方法是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；（3）知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（4）用提公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式。通过例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解的本质的认识。

三、合作探究

合作探究一

1、把下列各式分解因式

(1) ax+ay                 (2)  12xyz-9x2y2                 

2、先分解因式，再求值。

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5, x=3

3、利用因式分解进行计算

25×29 - 25×12 - 25×6

合作探究二

1、把下列各式分解因式

(1)  3mx-6my               (2)  -5x3-10x2+20x

2、先分解因式，再求值。

5a(b-2)+4(2-b)，其中a=0.4,b=102

合作探究三

1、若ab=2, a-b=-1,求代数式a2b-ab2的值。

2、利用因式分解进行计算

 32014- 5×32013+ 2×32013

师生活动：学生独立完成，学生展示解答过程，其他学生在导学案上完成，然后学生互动，小组交流解题经验，解题过程由学生进行评价。

设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，积累解题经验，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的数学价值。

试一试:拓展应用

1 、20142+2014能被2015整除吗? 

2、猜想20143-2014能被2015整除吗？

设计意图：前呼后应，为下一课题做铺垫。

四、归纳小结

本节课学习了哪些主要内容？
因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化。

五、课外作业

课本P119   T1   《数学作业本》P39

14.3　因式分解

14.3　因式分解

一、创设情境

1、轻松一下

文化大革命时期，有个身份清白的工人，生了个大儿子，取名叫爱国，过两年，生了二儿子，取名叫爱民，有过两年，生了三儿子，取名叫爱党，可这一天，造反派到他们家来抓人了，工人问：“为什么抓我？”造反派说：“我们到今天才知道你是一个反革命，爱国、爱民、爱党，提取公因式‘爱’，就是爱国民党。”老师板书“爱国+爱民+爱党＝爱（国+民+党）”。

2、20142+2014能被2015整除吗？

师生活动：教师展示课件，学生独立思考，教师写出课题。

设计意图：通过幽默小故事和与年份有关的计算，激发学生的学习兴趣。

二、自主探究

了解因式分解的概念

计算：

（1）x(x+1) =          ； （2）(x+1)(x-1) =          ；

探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式

x2+x=               (2)  x2-1 =          

归纳：将一个多项式化成             的形式，这种式子变形叫做这个多项式的          ，也叫做把这个多项式分解因式。

师生活动：学生观察并独立思考，尝试着写出答案，在教师给出因式分解的概念之后，学生回答因式分解与整式乘法是互逆变形关系。

设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察，思考和操作的过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做辅垫。

练习1、下列变形中，属于因式分解的是            （填序号）

(1) a(b+c)=ab+ac           (2) x3+2x2-3=x2(x+2)-3       

 (3) a2-b2=(a+b)(a-b)         (4) x2+4x+4=(x+2) 2

想一想：分解因式与整式乘法有何关系?

设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念。

2、探索因式分解的方法——提公因式法

问题：你能试着将多项式pa+pd+pc分解因式吗？这个多项式有什么特点？

例: 找 3 x2– 6xy  的公因式

正确找出多项式各项公因式的关键是：

①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的          。                      

②定字母： 字母取多项式各项中都含有的         的字母。                          

③定指数： 相同字母的指数取各项中的        一个，即字母最低次幂。

找一找:  下列各多项式的公因式是什么？

(1)3x+6y                          (2) 8a3b2-12ab3c                

(3) 2a(b+c)-3(b+c)                  (4) 2c(a-b)-3b(b-a)             

注意：公因式既可以是一个       的形式， 也可以是一个       的形式.

将多项式pa+pd+pc分解因式

由p(a+b+c)=pa+pb+pc       　 

可得pa+pb+pc=p(a+b+c)

得出结论：上题中的因式p叫做这个多项式各项的公因式。一般地,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后学生代表展示求解过得，在回答后，学生能发现这个多项式的各项都有一个公共的因式，教师指出此因式叫做这个多项式各项的公因式，在得出pa+pb+pc=p(a+b+c)后，学生发现：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把各个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。教师指出：这种分解因式的方法叫做提公因式法。

设计意图：让学生进一步了解因式分解与整式乘法的关系；了解因式分解的理论依据；了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式。

初步应用提公因式法，

例1：把8a3b2-12ab3c分解因式                例2：把2a(b+c)-3(b+c)分解因式

整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。

归纳：提公因式法步骤（分两步）

    第一步:找出公因式；

    第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。

想一想: 如何检查因式分解是否正确？

在分解完因式后，按照整式乘法把因式再乘回去看结果是否与原式相等，如果相同就说明正确，否则就错了。

师生活动：例1师生共同分析，此时老师引导学生明白找8a3b2与12ab3c的公因式的基本程序：先看系数8与12的最大公约数，再找出两项字母部分a3b2与ab3c都含的字母a和b，然后找出都含的字母a和b的最低次数，进而选定8a3b2与12ab3c的公因式——4ab2. 师生互动交流，最后达成共识：用提公因式法分解因式时，最后一定要满足条件——各因式中再无公因式。例2学生独立完成，学生展示，师生共同交流。

设计意图：通过例题的教学，引导学生：（1）了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤；（2）积累找公因式的经验——找到公因式的最简单的方法是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；（3）知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（4）用提公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式。通过例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解的本质的认识。

三、合作探究

合作探究一

1、把下列各式分解因式

(1) ax+ay                 (2)  12xyz-9x2y2                 

2、先分解因式，再求值。

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5, x=3

3、利用因式分解进行计算

25×29 - 25×12 - 25×6

合作探究二

1、把下列各式分解因式

(1)  3mx-6my               (2)  -5x3-10x2+20x

2、先分解因式，再求值。

5a(b-2)+4(2-b)，其中a=0.4,b=102

合作探究三

1、若ab=2, a-b=-1,求代数式a2b-ab2的值。

2、利用因式分解进行计算

 32014- 5×32013+ 2×32013

师生活动：学生独立完成，学生展示解答过程，其他学生在导学案上完成，然后学生互动，小组交流解题经验，解题过程由学生进行评价。

设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，积累解题经验，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的数学价值。

试一试:拓展应用

1 、20142+2014能被2015整除吗? 

2、猜想20143-2014能被2015整除吗？

设计意图：前呼后应，为下一课题做铺垫。

四、归纳小结

本节课学习了哪些主要内容？
因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化。

五、课外作业

课本P119   T1   《数学作业本》P39

• 优点:

  教学效果不错，结构紧凑，

• 缺点:

  无