21.1 一元二次方程名师教学实录

地区： 广　西 - 柳州市 - 柳城县

学校：柳城县实验中学

21.1　一元二次方程 初中数学       人教2011课标版

1、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。

2、记住一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

教学重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。

教学难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项

一、自主学习  感受新知

【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？

【分析】设宽为x米，则列方程得：                  ，整理得             ①

【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。

【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：          ，整理得         ②

【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它         队各赛1场，全场比赛共         场，列方程得：        ；整理得          ③

二、自主交流  探究新知

【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的          （填 “整式”“分式”“无理式”）；

（2）方程整理后含有      个未知数；

（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是     次。

【归纳】

1、一元二次方程的定义

等号两边都是       ，只含有    个未知数（一元），并且未知数的最高次数是    （二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0(a≠0)

这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中    是二次项，     是二次项系数，    是一次项，     是一次项系数，    是常数项。

【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。

【练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x3－２ｘ2＋５＝０；         （２）x2＝１；     （３）5x2－2x－=x2－2x+；

（４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；  （５）x2－２x＝x2＋１； ６）ax2＋bx＋c＝０

三、自主应用  巩固新知

【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：去括号，得：3x2-3x=5x+10

移项合并同类项，得：3x2-8x-10=0

其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。

【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

【例2】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．

四、自主总结 

1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？

五、目标检测

1． 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．

   (1)  3x2+1=6x           (2)  4x2+5x=81           (3)  x(x+5)=0

(4)  (2x-2)(x+1)=0         (5)  x(x+5)=5x-10         (6)(3x-2)(x+1)=x(2x-1)

2．根据下列问题列方程，并将其化成一般形式

  （1）一个长方形的长比宽多1cm，面积是132cm 2    长方形的长和宽各是多少？

  （2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积是0.06m2的长方形？

（3）参加聚会的每两人都握一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

3．要使是一元二次方程，则k=_______.

4．已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。

21.1　一元二次方程

21.1　一元二次方程

一、自主学习  感受新知

【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？

【分析】设宽为x米，则列方程得：                  ，整理得             ①

【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。

【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：          ，整理得         ②

【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它         队各赛1场，全场比赛共         场，列方程得：        ；整理得          ③

二、自主交流  探究新知

【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的          （填 “整式”“分式”“无理式”）；

（2）方程整理后含有      个未知数；

（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是     次。

【归纳】

1、一元二次方程的定义

等号两边都是       ，只含有    个未知数（一元），并且未知数的最高次数是    （二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0(a≠0)

这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中    是二次项，     是二次项系数，    是一次项，     是一次项系数，    是常数项。

【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。

【练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x3－２ｘ2＋５＝０；         （２）x2＝１；     （３）5x2－2x－=x2－2x+；

（４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；  （５）x2－２x＝x2＋１； ６）ax2＋bx＋c＝０

三、自主应用  巩固新知

【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：去括号，得：3x2-3x=5x+10

移项合并同类项，得：3x2-8x-10=0

其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。

【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

【例2】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．

四、自主总结 

1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？

五、目标检测

1． 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．

   (1)  3x2+1=6x           (2)  4x2+5x=81           (3)  x(x+5)=0

(4)  (2x-2)(x+1)=0         (5)  x(x+5)=5x-10         (6)(3x-2)(x+1)=x(2x-1)

2．根据下列问题列方程，并将其化成一般形式

  （1）一个长方形的长比宽多1cm，面积是132cm 2    长方形的长和宽各是多少？

  （2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积是0.06m2的长方形？

（3）参加聚会的每两人都握一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

3．要使是一元二次方程，则k=_______.

4．已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。