11.3 多边形及其内角和教学内容

地区： 甘肃省 - 临　夏 - 康乐县

学校：康乐县上湾民族中学

11.3　多边形及其内角和 初中数学       人教2011课标版

1、知识与技能：掌握多边形的内角和与外角和的计算方法，并能用其解决一些简单的问题；通过多边形内角和计算公式的推导，体验转化和类比的数学思想方法。

2、过程与方法：①、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。②、通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。③通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。

3、情感态度与价值观：通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望。同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。

1、学生的认知基础：学生已学过三角形的内角和定理，以及三角形的边、顶点、内角等概念，并且已初步了解四边形可分成两个三角形来求内角和，这为本节课的学习打下了基础。因而学生在探索多边形内角和时，便会很容易想到“拼”和“量”和把多边形转化成三角形等方法。另外，在以往的学习中，学生的动手实践、自主探索及合作探究能力都得到一定的训练，本节将进一步培养学生这些方面的能力。

2、学生的年龄心理特点：八年级的学生具有很强的感性认知基础，对一些具体的实践活动十分感兴趣。活泼好动，思维敏捷，表现欲强，但思考问题不全面。

重点：探索多边形的内角和及外角和公式。

难点：多边形内角和公式的推导。

问题：三角形的内角和是多少度？正方形和长方形的内角和又是多少度？

【设计说明】

直接提出问题，唤醒学生已有的知识，把学生引到本节课思维的最近发展区，为新课学习提供知识铺垫。

（1）探究活动一：探索四边形内角和。

问题：我们已经知道正方形和长方形的内角和为360°，那么任意四边形的内角和是多少？

你是怎么得到的？在学生独立思考的基础上,分组交流,并汇总解决问题的方法:                             

做法①测量法。量出任意一个四边形每个内角度数,然后相加为360°（让学生明确使用这种做法的缺陷是往往会引起误差，得不到预想的结果）

做法②拼图法。把四个角拼在一起刚好是一个周角360°（让学生明确使用这种做法的局限性，不是任何情况都可以采用这种办法验证四边形的内角和。）

教师在做法②的基础上引导学生利用作辅助线的方法,连结四边形的对角线,把一个四边形转化为两个三角形.  连结AC，四边形的内角和为   2×180°=360°

​

【设计说明】通过活动一的探究，学生易把四边形分割成

三角形，从而把四边形的内角和与三角形的内角和有效的联系起来，求出任意四边形的内角和。这个环节着重渗透分割转化的思想方法。为探究n边形的内角和做准备。

​

（2）探究活动二：探索五边形、六边形、七边形的内角和学生先独立思考每个问题再分组讨论。

关注：①学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。②学生能否采用不同的方法。

学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和）

A.把五边形分成三个三角形，3个180º的和是540º。

B.把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180º加上360º，结果得540º。

交流得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形、十边形的内角和。类比四边形、五边形的讨论方法最终得出，六边形内角和是720º，七边形内角和是900º。

师：通过前面的讨论，你能知道多边形内角和吗？

活动三：探究任意多边形的内角和公式。

思考：①多边形内角和与三角形内角和的关系？

②多边形的边数与内角和的关系？

③从多边形一个顶点引的对角线分三角形的个数与多边形边数的关系？

学生结合思考题进行讨论，并把讨论后的结果进行交流。

发现1：四边形内角和是(4-2)个180º的和，五边形内角和是(5-2)个180º的和，六边形内角和是(6-2)个180º的和，七边形内角和是(7-2)个180º的和。

发现2：多边形的边数增加1，内角和增加180º。

发现3：从五边形的一个顶点出发,可以引(5-3)条对角线,将五边形分成(5-2)个三角形, 从六边形的一个顶点出发,可以引(6-3)条对角线,将六边形分成(6-2)个三角形, 从n边形的一个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形. 

得出结论：多边形内角和公式：（n-2）•180º

【设计说明】

逐步增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化的思想方法的理解，体会由简单到复杂、由特殊到复杂的思想方法。

想一想：把一个多边形分成几个三角形，可以得到多边形的内角和。除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他分法吗？以四边形为例

  学生动手并与同伴交流，老师归纳，多媒体演示。

【设计说明】让学生再一次经历转化的过程，注意培养学生思维的灵活性，进一步发展

学生的推理能力和语言表达能力。

例1：一个多边形的内角和为1080°，它是几边形？

 解：设这个多边形的边数为n

   则（n-2）•180°= 1080°

所以这个多边形是八边形

 【设计说明】与探究多边形的内角和的过程相呼应以及多边形内角和公式的基础运用，

让学生人人都能获得必需的数学知识。

（四）探索多边形的外角和

  例2:  如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于多少？

    解：

      五边形外角和=5个平角－五边形内角和

                           =5×180°－(5－2)×180°

                           =360°

如果将例2中五边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到相同结果吗？

 解：

    n边形外角和=n个平角－n边形内角和

                        =n×180°－ (n－2) × 180°

                        =360°

结论：n边形的外角和等于360

【设计说明】

经历现实情况引出五边形的外角和等于360°，从学生已有的生活经验出发，更能激发学生的学习兴趣。通过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。

1.某多边形的内角和与外角和共1080 °，求多边形的边数。

2.一个多边形的内角和比他的外角和的3倍少180 °，求此多边形的边数。

课 时 小 结

1、这节课你掌握了哪些新知？

2、你学会了哪些重要方法？有什么启示？

(1)这节课我们主要学习了多边形的内角和公式 (n－2) · 180°

(2)多边形的外角和为 360 °

(3) 类比，转化的数学思想方法；从不同的角度和方面思考问题得到解决问题的方法。

课本第85页 4、5、6、7题

11.3　多边形及其内角和

11.3　多边形及其内角和

问题：三角形的内角和是多少度？正方形和长方形的内角和又是多少度？

【设计说明】

直接提出问题，唤醒学生已有的知识，把学生引到本节课思维的最近发展区，为新课学习提供知识铺垫。

（1）探究活动一：探索四边形内角和。

问题：我们已经知道正方形和长方形的内角和为360°，那么任意四边形的内角和是多少？

你是怎么得到的？在学生独立思考的基础上,分组交流,并汇总解决问题的方法:                             

做法①测量法。量出任意一个四边形每个内角度数,然后相加为360°（让学生明确使用这种做法的缺陷是往往会引起误差，得不到预想的结果）

做法②拼图法。把四个角拼在一起刚好是一个周角360°（让学生明确使用这种做法的局限性，不是任何情况都可以采用这种办法验证四边形的内角和。）

教师在做法②的基础上引导学生利用作辅助线的方法,连结四边形的对角线,把一个四边形转化为两个三角形.  连结AC，四边形的内角和为   2×180°=360°

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【设计说明】通过活动一的探究，学生易把四边形分割成

三角形，从而把四边形的内角和与三角形的内角和有效的联系起来，求出任意四边形的内角和。这个环节着重渗透分割转化的思想方法。为探究n边形的内角和做准备。

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（2）探究活动二：探索五边形、六边形、七边形的内角和学生先独立思考每个问题再分组讨论。

关注：①学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。②学生能否采用不同的方法。

学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和）

A.把五边形分成三个三角形，3个180º的和是540º。

B.把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180º加上360º，结果得540º。

交流得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形、十边形的内角和。类比四边形、五边形的讨论方法最终得出，六边形内角和是720º，七边形内角和是900º。

师：通过前面的讨论，你能知道多边形内角和吗？

活动三：探究任意多边形的内角和公式。

思考：①多边形内角和与三角形内角和的关系？

②多边形的边数与内角和的关系？

③从多边形一个顶点引的对角线分三角形的个数与多边形边数的关系？

学生结合思考题进行讨论，并把讨论后的结果进行交流。

发现1：四边形内角和是(4-2)个180º的和，五边形内角和是(5-2)个180º的和，六边形内角和是(6-2)个180º的和，七边形内角和是(7-2)个180º的和。

发现2：多边形的边数增加1，内角和增加180º。

发现3：从五边形的一个顶点出发,可以引(5-3)条对角线,将五边形分成(5-2)个三角形, 从六边形的一个顶点出发,可以引(6-3)条对角线,将六边形分成(6-2)个三角形, 从n边形的一个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形. 

得出结论：多边形内角和公式：（n-2）•180º

【设计说明】

逐步增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化的思想方法的理解，体会由简单到复杂、由特殊到复杂的思想方法。

想一想：把一个多边形分成几个三角形，可以得到多边形的内角和。除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他分法吗？以四边形为例

  学生动手并与同伴交流，老师归纳，多媒体演示。

【设计说明】让学生再一次经历转化的过程，注意培养学生思维的灵活性，进一步发展

学生的推理能力和语言表达能力。

例1：一个多边形的内角和为1080°，它是几边形？

 解：设这个多边形的边数为n

   则（n-2）•180°= 1080°

所以这个多边形是八边形

 【设计说明】与探究多边形的内角和的过程相呼应以及多边形内角和公式的基础运用，

让学生人人都能获得必需的数学知识。

（四）探索多边形的外角和

  例2:  如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于多少？

    解：

      五边形外角和=5个平角－五边形内角和

                           =5×180°－(5－2)×180°

                           =360°

如果将例2中五边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到相同结果吗？

 解：

    n边形外角和=n个平角－n边形内角和

                        =n×180°－ (n－2) × 180°

                        =360°

结论：n边形的外角和等于360

【设计说明】

经历现实情况引出五边形的外角和等于360°，从学生已有的生活经验出发，更能激发学生的学习兴趣。通过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。

1.某多边形的内角和与外角和共1080 °，求多边形的边数。

2.一个多边形的内角和比他的外角和的3倍少180 °，求此多边形的边数。

课 时 小 结

1、这节课你掌握了哪些新知？

2、你学会了哪些重要方法？有什么启示？

(1)这节课我们主要学习了多边形的内角和公式 (n－2) · 180°

(2)多边形的外角和为 360 °

(3) 类比，转化的数学思想方法；从不同的角度和方面思考问题得到解决问题的方法。

课本第85页 4、5、6、7题

• 优点:

  教学环节设计新颖，合理，重难点突出，教学思路开阔，学生练习为主，知识点概括到位，师生互动性强

• 缺点:

  无

• 优点:

  教师教学设计合理，教学思路清晰，教学目标明确，教学重点、难点突出，层次分明，能够以全新的理念作为主导，和学生的互动性强

• 缺点:

  无

• 优点:

  该节课教学设计非常巧妙，结合教材特点,学生、教师实际,一法为主,多法配合,优化组合。练习提供了学生喜闻乐见的资料，课堂练习紧扣重点,并注意在“趣”字上下功夫。

• 缺点:

  无

• 优点:

  教学目的明确，方法得当、语言清晰且具有感染力，能激发学生兴趣。

• 缺点:

  无

• 优点:

  该节课教学重难点把握准确，教学内容主次分明，抓住关键；结构合理，衔接自然紧凑，组织严密，采用有效的教学手段，引导自主探究、合作交流，成功地教学生“会学”。

• 缺点:

  无

• 优点:

  本节课教学环节清晰、完整具体,能活化教学内容，使之生活化,课堂教学的开放性、师生关系的民主性、教学模式的多样性,培养学生良好的学习品质,体显出了该教师教学能力。

• 缺点:

  无