21世纪教育网,面向全国的中小学学教师、家长交流平台

3.1.1 方程的根与函数的零点课件配套优秀教案案例

日期:2015-12-29 10:38 阅读:
1课时

3.1.1 方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1教学目标

○ 知识与技能:

结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的关系,掌握零点存在的判定条件。

○ 过程与方法: 通过主动探究、自主合作、相互交流,归纳数学概念,使学生充分体会知识的发现过程。

○ 情感态度与价值观: 培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值,感受数学中“联系与变化”的辨证唯物主义思想。


2学情分析

在本章,学生将在已学过的函数概念、指数函数、对数函数、幂函数的基础上,结合实际问题,初步运用函数思想理解和处理。而本节通过比较一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象和x轴的交点的横坐标之间的关系,给出了函数的零点的概念,并揭示了方程的根与对应的函数的零点之间的关系。通过探究介绍了判断一个函数在某个给定区间存在零点的方法。为后面用二分法求方程的近似解打基础。

3重点难点

重点:函数零点与方程的根的关系,并会利用函数零点与方程的根的关系找出函数零点的个数。'

难点:函数在某个区间的零点判断方法。

4教学过程 4.1第一学时    教学活动 活动1【导入】创设情景

~师:以前我们学习了一元二次方程和二次函数,它们之间有何关系?这就是我们这一节课要探讨的。 先看下面的例子。 1.求下列一元二次方程的根(多媒体显示) (1)x2-2x--3=0 x1=--1, x2=3 (2)x2-2x+1=0 x1= x2=1 (3)x2-2x+3=0 无解 (要求学生同座或前后合作,分别选作一题求解。) 师:哪个同学做第一题?方程的根是什么? (提问学生,并复习根判别式,再让学生回答第二第三题方程的根) 师:如果我们把以上方程右边的零换成是字母y,那所得到的等式是什么? (多媒体演示,三个方程的0都换成y) 生:都变成是二次函数。 师:请大家画出二次函数的图象。刚才你选做哪一题就相应的画哪个函数的图象。

活动2【导入】引入新课

~2.画出下列二次函数的图象(多媒体显示) (1)y=x2-2x-3 (2)y=x2-2x+1 (3)y=x2-2x+3 (提问学生,并将学生所画的图象投影到屏幕上,之后动态演示三个函数的图象,当曲线与x轴相交时发出声音,并将交点突出显示) 师:请画第一个函数图象的同学将图象展示出来 师:这三个函数的图象有什么不同的地方? 生:第一个图象与x轴有两个交点,第二个图象与x轴有一个交点,第三个图象与x轴没有交点。 师:再观察这三个图象,与x轴有交点的横坐标分别是什么? 生:第一个图象与x轴有交点的横坐标是—1,3;第二个图象是与x轴有交点的横坐标1。 师:那么我们结合前面方程的根,大家有什么发现? (多媒体显示方程的根和相应函数的图象,方程的根的值闪烁,相应的函数图象与x轴的交点也闪烁) 师:通过上述例子比较方程的根与相应的二次函数的图象与x轴的交点,它们有什么关系? 生:方程的根刚好是相应函数图象与x轴的交点的横坐标。 师:那一般情况下,上述结论成立吗? (多媒体显示一元二次方程的一般形式和相应二次函数) 师:对于一般一元二次方程与相应的二次函数,上面这种关系也是存在的。方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与相应的二次函数的图象y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点,它们是什么关系? 生:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的交点的横坐标。 师:学习一元二次方程判断根的方法是利用根的判别式进行,因此判别也就用于判断函数图象与x轴也有没有交点,有几个交点; (多媒体显示下表,然后提问学生填空) 设△= b2-4ac 判别式 方程 函数 △>0 有两不等实数根x1,x2 图象与 x 轴有两个交点 (x1,0),(x2,0) △=0 有两相等实数根x1=x2 图象与 x 轴有一个交点(x1,0) △<0 无实数根 图象与 x 轴无交点

活动3【讲授】函数的零点的概念

~师:二次函数的图象与x轴有两个的不同交点的话,那么相应一元二次方程也就有不同的实数根,也就是说,当函数的自变量的取值为交点的横坐标时,函数值为零。而二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系可以推广到一般情形。这样,我们把使 f (x) =0的实数x,叫做函数的零点。 (多媒体显示零点的概念) 师:由上面的探究过程,我们得到方程的根与函数图象的关系。 (多媒体动态演示以下文字,并且符号<=>闪烁) 方程f (x)=0有实数根 <=>函数的图象与x轴有交点 <=>函数y=f (x)有零点 师:方程的根就是函数的零点对吗? (提问学生,可能有的学生会认为相同,有的会认为不同,引导学生区分二者尽管有密切的联系,但不能混淆) 师:<=> 表示“等价于”,方程f (x) =0有实数根,那么函数y=f (x) 有零点;反过来也一样,函数y=f (x) 有零点那么方程f (x) =0有实数根;所以我们在求方程的根时,可借助这一关系,通过函数的性质,画出函数的图象,找出与x轴的交点,那么交点的横坐标就是相应方程的根。

活动4【练习】课堂练习

~师:下面我们就利用方程的根与函数的零点的关系判断下列方程有没有根,有几个根。 (1)(课本P103)利用函数的图象判断下列方程有没有根,有几个根。 (1) -x2+3x+5=0 (2) 2x(x-2)=3 (要求学生都利用函数的图象进行判断,而不要用根的判别式,注意引导学生根据二次函数图象的特点即开口方向、对称轴、和y轴的交点,或特殊值法判断图象是否与x轴的交点情况)。 师:令y= -x2+3x+5,得二次函数,函数的开口向下,对称轴为 ,与y轴的交点坐标为(0,5)在x轴的上方(或求出函数的顶点坐标)显然图象与x轴相交,有两个交点,所以方程有两个根。

活动5【讲授】利用数形结合的思想探究函数零点的性质

~师:接下来大家再来观察函数y=x2-2x-3的图象,想一想当图象经过零点后函数值有什么变化? (多媒体演示函数图象,动点沿函数图象在区间[-2,0]从左向右运动,经过与x轴交点后纵坐标由绿变红) 师:大家观察之后有什么发现? 生:动点经过与x轴交点之后,函数值的符号由正变为负。 师:不错,观察区间[-2,0],区间端点所对应的函数值的乘积的符号是正号还是负号? 生:负号 师:区间[1,4]呢? 生:一样。 师:乘积都为负数,而这两个区间都有零点。 因此,我们有:(多媒体显示以下文字) 如果函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) • f (b)<0,那么,函数 y=f (x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在 c∈ (a,b) ,使得 f (c)=0,这个c 也就是方程 f (x)=0的根。

活动6【讲授】零点的性质的应用

~师:应用这个结论,我们就可以根据函数值的情况判断零点的个数。 看下面的例子 例1 求函数f (x)=ln x+2x-6的零点个数。分析: 师:①函数的定义域是什么? 生:x>0 师:②判断函数的单调性? 师:显而易见,由于f (x)=ln x是什么函数?增还是减? 生:单调增函数。 师:而f (x)= 2x-6也是单调增函数,所以两个增函数的和是增函数。 师:③如何画函数图象,几个步骤? 生:三个步骤,列表,描点,画图。 师:那下面我们画出函数的图象。因为整数比较容易计算,取整数。 (分别计算当x等于1,2,3就可以) 师:为什么只取这3个就可以? 生:因为函数是增函数,随着自变量的增大而增大,当等于3函数为正数,函数值越来越大。 (多媒体显示函数图象) 师:函数f (x)=ln x+2x-6的零点有几个? 生:观察函数的图象结合数值表,可知:f (2) <0,f (3) >0, f (2)•f (3) <0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点,由于函数f (x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点。 师:判断方程ln x+2x-6=0的根的个数? 生:只有一个。 师:所以对于不能用公式法求方程的根时,可借助方程的根与函数的零点关系,通过函数的性质,画出函数的图象,找出与x轴的交点,那么交点的横坐标就是相应方程的根。

活动7【练习】课堂练习

~(2)(课本P103)利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1)f (x) = -x3-3x+5 (2)f (x)=2x • ln(x-2)-3 解:(1)因为f (1) =1>0,f (1.5) =-2.875<0所以f (x) =-x3-3x+5在区间[1,1.5]上有一个零点,又因为f (x) 在(-∞,+∞)上是减函数,所以f (x) =-x3-3x+5在区间[1,1.5]上有且只有一个零点。 (2)作出函数图象,因为f (3) <0, f (4) >0,所以f (x) = ln(x-2)-3在区间[3,4]上有一个零点,又因函数在(2,+∞)是上增函数,所以f (x)在(2,+∞)上有且只有一个零点。

活动8【讲授】小结

~本节课我们通过探索方程的根与函数的零点的关系,知道了方程的根的情况也可以通过相应函数的图象与x轴的交点的情况来确定,知道了零点的大致区间,那么,怎样才能精确地找出零点,这个问题留给大家回去思考。

活动9【作业】课后作业

~(1)课本P104练习1(3)(4)练习2(3)(4) (2)课本P108习题 3.1A组第2题

3.1.1 方程的根与函数的零点

课时设计 课堂实录

3.1.1 方程的根与函数的零点

1第一学时     教学活动 活动1【导入】创设情景

~师:以前我们学习了一元二次方程和二次函数,它们之间有何关系?这就是我们这一节课要探讨的。 先看下面的例子。 1.求下列一元二次方程的根(多媒体显示) (1)x2-2x--3=0 x1=--1, x2=3 (2)x2-2x+1=0 x1= x2=1 (3)x2-2x+3=0 无解 (要求学生同座或前后合作,分别选作一题求解。) 师:哪个同学做第一题?方程的根是什么? (提问学生,并复习根判别式,再让学生回答第二第三题方程的根) 师:如果我们把以上方程右边的零换成是字母y,那所得到的等式是什么? (多媒体演示,三个方程的0都换成y) 生:都变成是二次函数。 师:请大家画出二次函数的图象。刚才你选做哪一题就相应的画哪个函数的图象。

活动2【导入】引入新课

~2.画出下列二次函数的图象(多媒体显示) (1)y=x2-2x-3 (2)y=x2-2x+1 (3)y=x2-2x+3 (提问学生,并将学生所画的图象投影到屏幕上,之后动态演示三个函数的图象,当曲线与x轴相交时发出声音,并将交点突出显示) 师:请画第一个函数图象的同学将图象展示出来 师:这三个函数的图象有什么不同的地方? 生:第一个图象与x轴有两个交点,第二个图象与x轴有一个交点,第三个图象与x轴没有交点。 师:再观察这三个图象,与x轴有交点的横坐标分别是什么? 生:第一个图象与x轴有交点的横坐标是—1,3;第二个图象是与x轴有交点的横坐标1。 师:那么我们结合前面方程的根,大家有什么发现? (多媒体显示方程的根和相应函数的图象,方程的根的值闪烁,相应的函数图象与x轴的交点也闪烁) 师:通过上述例子比较方程的根与相应的二次函数的图象与x轴的交点,它们有什么关系? 生:方程的根刚好是相应函数图象与x轴的交点的横坐标。 师:那一般情况下,上述结论成立吗? (多媒体显示一元二次方程的一般形式和相应二次函数) 师:对于一般一元二次方程与相应的二次函数,上面这种关系也是存在的。方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与相应的二次函数的图象y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点,它们是什么关系? 生:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的交点的横坐标。 师:学习一元二次方程判断根的方法是利用根的判别式进行,因此判别也就用于判断函数图象与x轴也有没有交点,有几个交点; (多媒体显示下表,然后提问学生填空) 设△= b2-4ac 判别式 方程 函数 △>0 有两不等实数根x1,x2 图象与 x 轴有两个交点 (x1,0),(x2,0) △=0 有两相等实数根x1=x2 图象与 x 轴有一个交点(x1,0) △<0 无实数根 图象与 x 轴无交点

活动3【讲授】函数的零点的概念

~师:二次函数的图象与x轴有两个的不同交点的话,那么相应一元二次方程也就有不同的实数根,也就是说,当函数的自变量的取值为交点的横坐标时,函数值为零。而二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系可以推广到一般情形。这样,我们把使 f (x) =0的实数x,叫做函数的零点。 (多媒体显示零点的概念) 师:由上面的探究过程,我们得到方程的根与函数图象的关系。 (多媒体动态演示以下文字,并且符号<=>闪烁) 方程f (x)=0有实数根 <=>函数的图象与x轴有交点 <=>函数y=f (x)有零点 师:方程的根就是函数的零点对吗? (提问学生,可能有的学生会认为相同,有的会认为不同,引导学生区分二者尽管有密切的联系,但不能混淆) 师:<=> 表示“等价于”,方程f (x) =0有实数根,那么函数y=f (x) 有零点;反过来也一样,函数y=f (x) 有零点那么方程f (x) =0有实数根;所以我们在求方程的根时,可借助这一关系,通过函数的性质,画出函数的图象,找出与x轴的交点,那么交点的横坐标就是相应方程的根。

活动4【练习】课堂练习

~师:下面我们就利用方程的根与函数的零点的关系判断下列方程有没有根,有几个根。 (1)(课本P103)利用函数的图象判断下列方程有没有根,有几个根。 (1) -x2+3x+5=0 (2) 2x(x-2)=3 (要求学生都利用函数的图象进行判断,而不要用根的判别式,注意引导学生根据二次函数图象的特点即开口方向、对称轴、和y轴的交点,或特殊值法判断图象是否与x轴的交点情况)。 师:令y= -x2+3x+5,得二次函数,函数的开口向下,对称轴为 ,与y轴的交点坐标为(0,5)在x轴的上方(或求出函数的顶点坐标)显然图象与x轴相交,有两个交点,所以方程有两个根。

活动5【讲授】利用数形结合的思想探究函数零点的性质

~师:接下来大家再来观察函数y=x2-2x-3的图象,想一想当图象经过零点后函数值有什么变化? (多媒体演示函数图象,动点沿函数图象在区间[-2,0]从左向右运动,经过与x轴交点后纵坐标由绿变红) 师:大家观察之后有什么发现? 生:动点经过与x轴交点之后,函数值的符号由正变为负。 师:不错,观察区间[-2,0],区间端点所对应的函数值的乘积的符号是正号还是负号? 生:负号 师:区间[1,4]呢? 生:一样。 师:乘积都为负数,而这两个区间都有零点。 因此,我们有:(多媒体显示以下文字) 如果函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) • f (b)<0,那么,函数 y=f (x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在 c∈ (a,b) ,使得 f (c)=0,这个c 也就是方程 f (x)=0的根。

活动6【讲授】零点的性质的应用

~师:应用这个结论,我们就可以根据函数值的情况判断零点的个数。 看下面的例子 例1 求函数f (x)=ln x+2x-6的零点个数。分析: 师:①函数的定义域是什么? 生:x>0 师:②判断函数的单调性? 师:显而易见,由于f (x)=ln x是什么函数?增还是减? 生:单调增函数。 师:而f (x)= 2x-6也是单调增函数,所以两个增函数的和是增函数。 师:③如何画函数图象,几个步骤? 生:三个步骤,列表,描点,画图。 师:那下面我们画出函数的图象。因为整数比较容易计算,取整数。 (分别计算当x等于1,2,3就可以) 师:为什么只取这3个就可以? 生:因为函数是增函数,随着自变量的增大而增大,当等于3函数为正数,函数值越来越大。 (多媒体显示函数图象) 师:函数f (x)=ln x+2x-6的零点有几个? 生:观察函数的图象结合数值表,可知:f (2) <0,f (3) >0, f (2)•f (3) <0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点,由于函数f (x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点。 师:判断方程ln x+2x-6=0的根的个数? 生:只有一个。 师:所以对于不能用公式法求方程的根时,可借助方程的根与函数的零点关系,通过函数的性质,画出函数的图象,找出与x轴的交点,那么交点的横坐标就是相应方程的根。

活动7【练习】课堂练习

~(2)(课本P103)利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1)f (x) = -x3-3x+5 (2)f (x)=2x • ln(x-2)-3 解:(1)因为f (1) =1>0,f (1.5) =-2.875<0所以f (x) =-x3-3x+5在区间[1,1.5]上有一个零点,又因为f (x) 在(-∞,+∞)上是减函数,所以f (x) =-x3-3x+5在区间[1,1.5]上有且只有一个零点。 (2)作出函数图象,因为f (3) <0, f (4) >0,所以f (x) = ln(x-2)-3在区间[3,4]上有一个零点,又因函数在(2,+∞)是上增函数,所以f (x)在(2,+∞)上有且只有一个零点。

活动8【讲授】小结

~本节课我们通过探索方程的根与函数的零点的关系,知道了方程的根的情况也可以通过相应函数的图象与x轴的交点的情况来确定,知道了零点的大致区间,那么,怎样才能精确地找出零点,这个问题留给大家回去思考。

活动9【作业】课后作业

~(1)课本P104练习1(3)(4)练习2(3)(4) (2)课本P108习题 3.1A组第2题

Tags:3.1.1,方程,函数,零点,课件