22.1 二次函数的图象和性质优秀教学设计

地区： 河南省 - 洛阳市 - 洛龙区

学校：洛阳市洛龙区第三初级中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

（一）创设情境   引入新知

观察下列函数：（1） y = 2x+1 ；（2） ；（3） ．

其中一次函数有                  ．

一次函数的定义：                                      ．  

一次函数的图象是：                    ．

请说出上面一次函数的图象所经过的象限和增减性．

师生活动：回忆函数的定义，图象和性质，并回顾一次函数的研究程序：定义 图象和性质 应用．

【设计意图】回忆一次函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用．同时引出新知，一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系，但是实际问题的变量之间关系都能用一次函数表示吗？

观察篮球运动的路线，本章教科书章前图喷泉水的流动弧线，探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？

 阅读引言内容，探究正方体的表面积y和棱长x之间的数量关系，得到 ．

问题1　它是函数吗？如果是，你会给它命名吗？

师生活动：回忆函数的定义，观察新函数，分析此函数自变量的次数，尝试为新函数命名．

【设计意图】认识到二次函数是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在已有的知识的体系中合理地构建二次函数这一新知识．

问题2　这样的函数在其他实际问题中是否还存在呢？

师生活动：学生思考二次项产生的原因，激发学习新知的欲望．

【设计意图】数学来自于生活，实际问题的需要从而扩充新的知识，从一次函数顺利过渡到二次函数．

（二）合作交流   探究概念

给出课本问题1、问题2的两个实际问题，建立函数．

问题1  n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？

教师引导学生思考以下问题：

1．每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___        场，化简得__________，m与n的数量关系是_____________．

2．将n支球队看作是平面内的n个点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，共有          条线段，m与n的数量关系是______       _______．

问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？

教师引导学生思考以下问题：

一年后的产量为                       ．

再过一年后的产量为                     ．

即两年后的产量为                  ，展开整理得，                 ． 

由此，我们可以列出y与x的数量关系是____________．

师生活动：学生将实际问题中的语言转化成数学符号语言，寻找等量关系，学习建模．将列得的函数化简整理．

【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次式产生的根源将更加明晰．

问题3  这些变量之间的关系是函数吗？

师生活动：对照函数的概念判断这些变量之间的关系是否是函数．“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应”是检验函数的唯一标准．

【设计意图】一次函数、二次函数是在函数的前提下研究．

问题4  这些函数有什么共同点？它们是什么函数？

共同点：（1）等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式 ；（2）等式的右边可统一为“ ”的形式．

师生活动：观察本课得出的一些函数，思考它们的共性，类比一次函数的概念，同学们尝试给出二次函数的定义，并且概括出二次函数的一般形式．

1．二次函数的概念：

一般地，形如 的函数叫做二次函数，其中x是自变量， 是常数．

2．二次函数的一般形式是 ．其中 是二次项，a是二次项系数； 是一次项，b是一次项系数；c是常数项．?

【注意】①函数 中， 是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．

②定义是关于x的二次整式（切不可把 当成二次函数）．

【设计意图】让学生自己给出定义就是对所学一次函数的定义的类比，对比一次函数也容易理解 ．

（三）辨析应用，加深理解

问题5  下列哪些函数是二次函数？

例1 下列函数中，哪些是关于x的二次函数？如果是二次函数，指出a，b，c的值．

 （1）  ；             （2）  ；       （3） ；

 （4）  ；       （5） ．

答案：（1）（3）．

师生活动：用概念指导辨析，函数（3）、（4）、（5）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确右边是关于x的二次整式，（4）对 条件加深认识；（5）体会化为一般形式的必要性，对 条件加深认识．

【设计意图】从正反两个方面进行概念辨析，关注二次函数的本质，帮助学生进一步巩固概念，深化对二次函数的认识．

例2  k为何值时，函数 是二次函数？

答案： ．

师生活动：根据函数概念，确定字母系数的取值范围．

【设计意图】字母系数二次函数，通过辨析函数的二次式，抓住二次函数的本质，深化理解．

（四）巩固概念，学以致用

巩固练习：教科书29页练习，对练习2增加三个问题：（1）指出y是x的什么函数;（2）当矩形绿地的长和宽各增加5m时，求扩充后的绿地面积;（3）当扩充后绿地面积是1200m2时，问矩形绿地的长和宽各增加了多少米？

【设计意图】巩固性练习，检验二次函数概念的掌握情况，同时回顾函数值的求法和解一元二次方程，了解一元二次方程是二次函数的特殊情况，实现把旧知识主动与新知建构，并理解新旧知识的差异性与共同性．

（五）归纳小结，反思提高

谈对二次函数概念的认识，为什么要求二次项系数不为零，二次函数与一元二次方程的关系．

（六）布置作业：教科书习题22．1复习巩固：第1，2，12题．

五、目标检测设计

1．下列函数是二次函数的有（      ）

A．    B．     C．    D．

【设计意图】考查对二次函数概念的理解．紧扣定义中的两个特征：① ；② 是整式（二次三项式）．

2．如果函数 是y关于x的二次函数，求k的值．

【设计意图】考查自变量的二次和 的条件．

3．已知 与 成正比例，并且当 时， ，求：

（1）函数 与 的函数关系式；

（2）当 时，函数 的值；

（3）当 时， 的值．

【设计意图】考查对二次函数一般式和函数值的掌握情况．

1．能够表示简单变量间的二次函数关系，体会二次函数是刻画实际问题的重要数学模型，理解二次函数的概念和二次函数的一般形式；

2．经历、探索二次函数概念的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．

本课的教学重点应该放在形成二次函数概念的过程上，不能草草给出二次函数的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫．

本课的教学难点是二次函数的概念．

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

• 优点:

  利用类比法，引出二次函数。并以生活实例导出概念

• 缺点:

  对定义要进一步强调缺少，加强练习。