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函数最值的求解
2014-4-9 14:54 |  发布人: y355356475 |  阅读: 4755 | 
  函数最值的讨论是高中数学的难点,类型多且比较灵活,因而在高考当中较容易失分,所以把握好类型与解决方法是处理好这类问题的关键。
  一 求函数最值的常用方法有:
  1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值.形如                                       的函数值域均可用此法,要特别注意自变量的范围.
  2分离常数法:将函数解析式化成含有一个常数和含有     的表达式,利用自变量取值范围确定表达式取值范围。形如     的函数的值域,均可以使用此法,此外这种函数的值域也可以利用反函数法,利用反函数的定义域进行值域的求解。
  3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程     ,通过方程有实根,判别式     ,从而求得原函数的值域。形如     的函数的值域常用此法解决。
  注意事项:①函数定义域为R;②分子、分母没有公因式。
  4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值,常用不等式有:
  ①     当且仅当a = b时,“=”号成立;
  ②     当且仅当a = b时,“=”号成立;
  ③     当且仅当a = b = c时,“=”号成立;
  ④      ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
  注意事项:①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三等”.
  ②熟悉一个重要的不等式链:
  5.换元法:运用代数或者三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。形如     的函数等常用此法解决.
  注意事项:换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.
  6.数形结合法:当一个函数图象较容易作出时,通过图像可以求出其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助几何方法求出函数的值域。例如距离、斜率等.
  7.函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性以求出函数的值域.例如形如     的函数,     的函数等.
  注意事项:1 函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。
  2函数的单调性的判断方法有定义法,导数判断法等方法。
  二 函数最值求解例析
  例1 求下列函数的值域:
  解:(1)方法一(分离常数法)由     知     ,
  所以函数值域为
  方法二(反函数法)由     ,得     ,所以     即
  所以函数值域为
  (2)方法一(换元法)设     ,得     ,
  方法二(函数单调性法)
  注:函数     的单调性也可以用导数法进行判断(     ).
  (3)方法一(判别式法)
  。
  ,
  所以函数值域为     。
  方法二(不等式法)
  。
  (4)方法一(基本不等式法)
  由     得
  即     或     ,所以函数的值域为
  方法二(判别式法)
  由     得     。
  方程有实根,
  解得     或     ,所以函数的值域为
  方法三(函数单调性法)由     得
  所以当     和     时,     所以函数在     和     上是减少的,
  当     和     时,     所以函数在     和     上是增加的,
  所以
  所以函数的值域为
  注:函数     图象及性质
  (1)函数     图象:
  (2)函数     性质:
  ①值域:     ;
  ②单调递增区间:     ,     ;
  单调递减区间:     ,     .
  例2对     ,记     ,函数         的最小值是(  )
  A                    C         D
  解法一(图像法):
  函数     的图像如图所示,由图像可得,其最小值为     。[来源:Z,xx,k.Com]
  解法二(零点分区间讨论法):
  当x<﹣1时,|x+1|=﹣x﹣1,|x﹣2|=2﹣x, 2﹣x>﹣x﹣1;
  当﹣1≤x<     时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x, x+1<2﹣x;
  当     <x<2时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x,x+1>2﹣x;
  当x≥2时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=x﹣2, x+1>x﹣2;
  故     ,故函数最小值为     .
  例3 设函数     ,求     在区间     上的最大值     和最小值     。
  解:(函数单调性法)
  由于     ,所以     ,
  由     得:      ;由     得:     ,
  所以函数     在区间     上是减少的;在区间     上是增加的。又由于
  所以:     ,
  三 训练
  1 下列函数中,值域是(0,+∞)的是(  )
  A、              B、
  C、y=x2+x+1        D、
  2 函数     的值域是(  )
  A、(﹣∞,﹣1)         B、(﹣∞,0)∪(0,+∞)
  C、(﹣1,+∞)           D、(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)
  3 函数     的值域是
  4 函数     的值域为
  5 函数     的最大值是      ,最小值是
  作者单位:陕西省武功县五七零二完全中学
  邮箱:lxn207813@163.com
  邮编:712201
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