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判定函数单调性的几种方法
2013-10-30 13:43 |  发布人: y355356475 |  阅读: 2723 | 

  函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。从高中接触函数单调性开始。我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。 关键词:函数,单调性,判定 函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质,从高中接触函数单调性开始,我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法,本文将判定函

  数单调性的多种方法给出,由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中,这种题型比较抽象,综合性较强,对学生的能力要求较高,学生往往难解其意,不能沟通数学符号及数学语言之间的内在联系,本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。

  ⒈判定函数单调性的几种方法

  1.1利用函数单调性的定义

  一般地,设函数的定义域为:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有(或),那么就说在这个区间上是增(或减)函数。给出定义后,我们就可利用定义判定函数的单调性。

  例1 讨论函数的单调性。

  解:函数的定义域为,任取两个实数

  故在上是增函数。参考。

  例2 讨论函数的单调性。

  解:指数函数的定义域为,任取两个实数,=

  当时,, 此时函数为增函数。

  当时, 此时函数为减函数。

  1.2利用反函数的单调性

  我们知道,一个函数若为严格增(或减)函数,则其反函数也为严格增(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。

  例3 讨论反余弦函数的单调性

  解:因为是余弦函数在的反函数,已知在上为严格减函数,故在定义域上为严格减函数

  1.3利用基本初等函数的性质

  幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种基本初等函数,它们各有增减区间。那么我们就借助基本初等函数的性质来判定函数的单调性。

  例4 判断函数的增减性

  解:依据指数函数单调性可知:在上是增函数

  例5 判断函数在上的单调性

  解:依据幂函数单调性知:在上是减函数

  1.4利用复合函数的单调性

  定理1 设有复合函数,当与同时为增(或减)函数时,函数为增函数,否则为减函数。参考。

  例6 讨论函数的单调性。参考。

  解:先求出函数定义域: 解得:或

  函数的定义域为,令为减函数,在区间上为减函数,故在上为增函数,而在区间上为增函数,故在上为减函数

  1.5利用的单调性

  定理2 若函数为增(或减)函数,则函数,当时为增(或减)函数,当时为减(或增)函数。

  例7 讨论函数的单调性

  解: 而为减函数,由定理2可知,为增函数

  1.6利用倒函数的单调性

  定理3 正(或负)值函数若为增(或减)函数,则其倒函数在其公共定义域内为减(或增)函数。

  例8 讨论函数在区间上的单调性

  解:在区间上是减函数,由定理3知,在区间上为增函数

  1.7利用函数的单调性判定函数和的单调性

  定理4 两个具有公共定义域的增(或减)函数之和仍为增(或减)函数

  例9 讨论函数的单调性

  解:函数定义域为 在此区间内,为增函数,由定理3知,为减函数,由定理2知,为增函数,由定理4知为增函数

  1.8利用函数的单调性判定函数积的单调性

  定理5 两个正值增(或减)函数之积为增(或减)函数;两个负值增(或减)函数之积为减(或增)函数

  例10 讨论函数的单调性

  解:函数在区间均为正值增函数,由定理5知在区间上均为增函数

  1.9利用导数

  定理6 设在区间上可导,则在上递增(或递减)的充要条件是。

  例11 讨论函数的单调性

  解:函数的定义域为,由复合函数可导性可知在定义域上可导。

  令得,它将定义域分为两个区间: ,在区间内 函数在此区间内是增函数,在区间内 函数在此区间内是减函数

  ⒉判定抽象函数单调性的几种方法

  对于未给出具体函数式的抽象函数,需充分挖掘题目条件所提供的信息,具体方法如下:

  2.1定义法

  通过作差(或作商),结合已知条件进行变形(分解因式,配方等),再与0(或1)的比较来判断其单调性。

  例1 设函数对任意都有,且时,试讨论函数的单调性

  解:当时,得,当时有,由知是奇函数,又因时,,任取有,所以在上是减函数

  这类题通常用赋值法取特征值“探路故是增函数的区间是,

  参考文献:

  [1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)第三版[M]高等教育出版社(2001)

  [2]任亲谋.数学分析习题解析华东师大第三版上册[M]陕西师范大学出版社:P177

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