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高中数学统计与概率问题初探
2013-5-21 00:58 |  发布人: xiaoyiyuan1234 |  阅读: 4723 | 

        摘  要:在高中数学课程中,“概率与统计”是高中数学新课程的重要组成部分, 也是最能反映数学应用性的课程。本文就《标准》必修3中“统计与概率”部分内容的特点,增加统计与概率的内容对高中数学教育改革的意义,总体目标,如何处理统计与概率的内容,怎样发挥统计与概率在提高学生数学素养方面的功能等几个方面的问题以及选修2-3《概率》内容(人教版A版)如何教学,从知识要求及变化、教学要求以及重点和难点加以阐述。  

关键词:统计    概率    概念    特点分析

          一、高中数学新课程概率统计背景和地位

        2003年5月出台的《普通高中课程标准》提出要将概率与统计作为高中数学课程的必修内容,并提出明确的要求、说明与建议。在我国“, 概率统计”内容从几进几出到如今作为《标准》中的必修内容,这既满足信息时代对数学教学的要求,又是数学新课程发展的必然。高中必修课程由五大模块组成“, 概率与统计”属于模块,在本模块中,学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的理解,能通过实验、计算模拟估计简单随机事件发生的概率。通过对概率统计的学习,学生可以充分体会到数学与我们的日常生活是紧密相连的,这样可以大大激发学生学习数学的兴趣,发展数学应用意识和创新意识,开阔学生的数学视野。虽然所讲授的概率和统计内容属于简单部分,但是它为中学生提供了一个很好认识数学应用性的平台,为学生以后进入大学阶段学习提供了一个理想的过度阶段。
        二、高中数学新课程“概率与统计”的内容和特点分析
     (一)统计部分内容:这一部分内容有不少于初中阶段所学重复,学生学习起来较轻松,这部分内容包括:(1)随机抽样 、(2)用样本估计总体 ,体会用样本估计总体的思想。(3)变量的相关性 ,这部分初中教学中并未涉及,要求学生利用散点图,来认识变量间的相关关系;知道最小二乘法的思想,根据公式建立线性回归方程。
      (二)概率部分内容::这一部分内容在必修和选修中都有涉及,学生刚刚涉及,需要通过一些实例去理解相关概念。
      (1)随机事件的概念,频率与概率区别与联系
      (2)随机事件的基本事件数和事件发生的概率,互斥事件的概率加法公式,古典概型及其概率计算公式,独立重复试验
      (3)随机数的意义,能运用模拟方法估计概率,几何概型
      (4)学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差及内容,初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法。加深对随机现象的理解,能用随机的观念认识并解释现实世界;能通过实验、计算器  (机)模拟估计简单随机事件发生的概率。

       (5)“离散型随机变量”与“样本数据”存在定位上的区别。“离散型随机变量” 与“样本数据” 两者概念不能混为一谈。“离散型随机变量”是由实验结果确定的,“样本数据” 是由抽样方式确定的,导致了两者的差别。

       (6)通过实例,理解所有的概念,避免过分注重形式化的倾向。  

          重点是理解“离散型随机变量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正态分布”的概念。  

        (7)“随机观念”贯穿于这部分内容的始终。  

首先要认识离散型随机变量的分布列对刻划随机现象的重要性;其次掌握超几何分布、二项分布是两个非常重要的应用广泛的概率模型。另外正态分布应用更广泛。通过这些“分布” 的学习,初步学会一种方法(即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法),形成一种意识(用随机观念观察分析问题的意识)。但“方法” 和“意识”的培养,仍然离不开实例。

       (三)、高中概率统计的教材特点分析

       (1)强调典型案例的作用   教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际.
       (2)注重统计思想和计算结果的解释
         教科书中突出统计思想的解释,如在概率的意义部分,利用概率解释了统计中似然法的思想,解释了遗传机理中的统计规律.统计试验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想.在古典概型部分,每道例题在计算出随机事件的概率后,都给出相应结果的解释或提出思考问题让学生做进一步的探究.
       (3)注重现代信息技术手段的应用
         由于概率统计本身的特点,统计需要分析和处理大量的数据,概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟试验结果,并需要分析和综合试验结果,所以现代信息技术的使用就显得更为必要.

         三.课程标准要求的具体化和深广度分析  

        1.如何提高学生对统计的兴趣

        高中阶段统计教学应通过案例的进行,在对实际问题的分析中,使学生经历较为系统的数据处理全过程,在此过程中学习一些常用的数据处理的方法,运用所学知识、方法去解决简单的实际问题,体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用以及应用的广泛性。同时,具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质。例如:对于“最小二乘法”的学习,如果直接介绍一般的最小二乘的方法,学生往往体会不到这种方法的实质,也失去了一个分析问题、处理数据的机会。教学中,可以通过一个学生感兴趣的实例,比如学生身高和体重的关系,让学生收集到的数据做出散点图,利用散点图直观认识到变量之间存在着线形相关关系,然后鼓励学生自己想办法确定一条“比较合适”的直线描述这两个变量之间线形相关关系,在此基础上再引入最小二乘法,并给出线形回归方程。所以教师平时要细心收集生活中的素材、广泛涉猎各学科知识,更多地发动学生自己发现问题,以此积累案例开展统计教学,展示统计的广泛应用。

         2.如何理解“取有限值的离散随机变量及其分布列” 的含义。  

       (1)通过实例比较并体会“离散型随机变量” 与“随机变量” 的区别。   

         若随机变量X至多可以取可数个值,则称X为离散型随机变量。

         设X为离散型随机变量,其可能取值为x1x2……,则

         pi=P(X=xi),i=1,2,3……

          完全地描述了随机变量X的取值规律,称它为X的概率分布列。

         例1:问题1  掷一枚均匀硬币,以X表示一次掷币过程中出现正面的次数,试求X的分布列。  

         思考:a、某人掷币一次的实验中,可能出现的结果(基本事件)是什么?   b、为什么可以由0,1这2个数字表示实验中可能出现的结果?  

         分析:因为实验中的可能出现的结果自然的对应着一个实数,根据这种对应关系,我们可以用结果对应的数量表示它。如0表示出现反面,1表示出现正面。 

      例2:问题2 某林场树木最高达到30米,林场树木的高度η一个随机变量。①随机变量η可以取那些值?②问题1中的命中环数ξ与问题2中的树木的高度η这两个随机变量取值有什么不同?  

         分析:随机变量η可以取(0,30)内的一切取值,问题1中的随机变量ξ的取值是可以按一定次序一一列出;问题2中的随机变量η的取值是一区间内的一切取值。  

          总结:通过对问题2的思考分析(问题2随机变量η不作教学要求)突出离散型机变量的取值特征,概括定义,加深对离散型随机变量的理解。 注意在离散型随机变量的分布列中,研究离散型随机变量X的可能值,只研究有限个的情况,无限个的情况不研究,这是新课程与传统课程的差别。  

          根据概率的性质,可知离散型随机变量的概率分布有以下两个性质:

        (1)pi≥0,i=1,2,3……

i

        (2)∑pi =1

          3.如何理解“二项分布与正态分布”。

          新课程标准要求只研究二项分布与正态分布,注意二项分布的使用条件为在n次独立重复实验中有放回地抽取。

        (1)二项分布相关概念:

         在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

,(k=0,1,2,…,n, ).

          于是得到随机变量ξ的概率分布如下:

ξ

0

1

k

n

P

          由于 恰好是二项展开式

         中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从二项分布(binomial distribution ),

记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数,并记 =b(k;n,p).

         (2)二项分布的应用补充例题

           1.射击问题

          :21世例3.某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中,

           (1)恰有 8 次击中目标的概率;

          (2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)

           解:设X为击中目标的次数,则X~B (10, 0.8 ) .

          (1)在 10 次射击中,恰有 8 次击中目标的概率为 21世纪教育网

          P (X = 8 ) = .

          (2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为

          P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )

          2.次品问题

          例4.某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布.21世纪教育网

          解:依题意,随机变量ξ~B(2,5%).所以,21世纪教育网

          P(ξ=0)= (95%) =0.9025,P(ξ=1)= (5%)(95%)=0.095,

          P( )= (5%) =0.0025.

    因此,次品数ξ的概率分布是

ξ

0

1

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